eg1-5.2· Глава 5: Геометрия и измерения· ~14 мин

Окружность, круг и четырёхугольники

Длина окружности, площадь круга, дуга и сектор, центральные и вписанные углы, площадь и периметр четырёхугольников.

Длина окружности радиуса rr равна L=2πrL = 2\pi r, диаметр d=2rd = 2r, площадь круга S=πr2S = \pi r^2. Центральный угол равен опираемой дуге, а вписанный (периферический) угол, опирающийся на ту же дугу, равен половине центрального.

Длина дуги, соответствующей центральному углу n∘n^\circ, равна n360⋅2πr\frac{n}{360}\cdot 2\pi r, площадь сектора — n360⋅πr2\frac{n}{360}\cdot\pi r^2.

📌Пример

Например, при r=6r = 6 и центральном угле 60∘60^\circ площадь сектора равна 60360⋅π⋅62=6π\frac{60}{360}\cdot\pi\cdot 6^2 = 6\pi.

Графики

Окружность: центральный угол (2β) и вписанный угол (β), опирающиеся на одну дугу
Окружность: центральный угол (2β) и вписанный угол (β), опирающиеся на одну дугу

Ключевые термины

Длина окружности — Длина окружности радиуса rr равна L=2πr=πdL = 2\pi r = \pi d, где d=2rd = 2r — диаметр.
Площадь круга — Площадь круга радиуса rr равна S=πr2S = \pi r^2.
Центральный угол — Угол с вершиной в центре окружности; равен опираемой дуге (n∘n^\circ).
Вписанный (периферический) угол — Угол с вершиной на окружности; равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.
Сектор — Часть круга с центральным углом n∘n^\circ; площадь равна n360⋅πr2\frac{n}{360}\cdot\pi r^2.
Длина дуги — Длина дуги, соответствующей центральному углу n∘n^\circ, равна n360⋅2πr\frac{n}{360}\cdot 2\pi r.
Формулы для окружности и круга
ВеличинаФормула
Длина окружностиL=2πr=πdL = 2\pi r = \pi d
Площадь кругаS=πr2S = \pi r^2
Длина дугиn360⋅2πr\frac{n}{360}\cdot 2\pi r
Площадь сектораn360⋅πr2\frac{n}{360}\cdot\pi r^2

Здесь rr — радиус, dd — диаметр, nn — градусная мера центрального угла.

Формулы площадей четырёхугольников
ФигураПлощадь
ПрямоугольникS=a⋅bS = a\cdot b
ПараллелограммS=a⋅hS = a\cdot h
РомбS=d1⋅d22S = \frac{d_1\cdot d_2}{2}
ТрапецияS=a+b2⋅hS = \frac{a+b}{2}\cdot h

a,ba,b — стороны/параллельные стороны, hh — высота, d1,d2d_1,d_2 — диагонали.

✎Площадь сектора
  1. 1Дано: Радиус r=6r = 6, центральный угол n=60∘n = 60^\circ. Найдите площадь сектора.
  2. 2Запишите формулу: Площадь сектора =n360⋅πr2= \frac{n}{360}\cdot\pi r^2.
  3. 3Подставьте значения: 60360⋅π⋅62=16⋅36π\frac{60}{360}\cdot\pi\cdot 6^2 = \frac{1}{6}\cdot 36\pi.
  4. 4Результат: 36π6=6π\frac{36\pi}{6} = 6\pi.
✎Нахождение длины окружности по площади
  1. 1Дано: Площадь круга S=49πS = 49\pi. Найдите длину окружности.
  2. 2Найдите радиус: πr2=49π⇒r2=49⇒r=7\pi r^2 = 49\pi \Rightarrow r^2 = 49 \Rightarrow r = 7.
  3. 3Формула длины: L=2πr=2π⋅7L = 2\pi r = 2\pi\cdot 7.
  4. 4Результат: L=14πL = 14\pi.
🚫Частая ошибка

Не путайте πr\pi r и 2πr2\pi r: длина окружности равна 2πr2\pi r. Например, при r=3r = 3 ответ равен 6π6\pi, а не 3π3\pi.

⚠️Внимание

Не путайте площадь и длину: при r=7r = 7 площадь равна πr2=49π\pi r^2 = 49\pi, а длина окружности — 2πr=14π2\pi r = 14\pi.

🚫Частая ошибка

При вычислении площади ромба делите произведение диагоналей на 22: S=d1⋅d22S = \frac{d_1\cdot d_2}{2}. Само произведение d1⋅d2d_1\cdot d_2 — это не площадь.

💡Заметка

Центральный угол равен дуге, а вписанный (периферический) угол — половине. Дуга 100∘100^\circ → центральный угол 100∘100^\circ, вписанный угол 50∘50^\circ.

⚠️Внимание

Вписанный угол, опирающийся на диаметр, всегда равен 90∘90^\circ; сумма противоположных углов четырёхугольника, вписанного в окружность, равна 180∘180^\circ.

Правила

  1. 1L=2πr=πdL = 2\pi r = \pi d; площадь круга S=πr2S = \pi r^2.
  2. 2Длина дуги =n360⋅2πr= \frac{n}{360}\cdot 2\pi r; площадь сектора =n360⋅πr2= \frac{n}{360}\cdot\pi r^2.
  3. 3Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.
  4. 4Параллелограмм S=a⋅hS = a\cdot h, ромб S=d1⋅d22S = \frac{d_1\cdot d_2}{2}, трапеция S=a+b2⋅hS = \frac{a+b}{2}\cdot h.
  5. 5Вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен 90∘90^\circ.

Тренировка

15 лёгких · 15 средних · 15 сложных

В каждом тесте — 10 случайных вопросов

ЛёгкийСреднийСложныйМикс