eg1-1.6· Fəsil 1: Ədədlər və ifadələr· ~14 dəq

Kompleks ədədlər

Xəyali vahid, qoşma, dörd əməl və qüvvətə yüksəltmə.

Kompleks ədəd z=a+biz = a + bi şəklində yazılır; burada aa — həqiqi hissə (Re), bb — xəyali hissə (Im), ii isə i2=−1i^2 = -1 şərtini ödəyən xəyali vahiddir.

İki kompleks ədəd hissə-hissə toplanır və çıxılır. Vurma adi mötərizə açma qaydası ilə aparılır, sonda i2=−1i^2 = -1 əvəz olunur. Bölmə zamanı məxrəcin qoşmasına vurulur: zˉ=a−bi\bar z = a - bi qoşma ədədi ilə zzˉ=a2+b2z\bar z = a^2 + b^2 həqiqi ədəd alınır, bu da məxrəci həqiqiləşdirir.

ii-nin qüvvətləri 44 dövrü ilə təkrarlanır: i1=i, i2=−1, i3=−i, i4=1i^1=i,\ i^2=-1,\ i^3=-i,\ i^4=1; ona görə ini^n-i tapmaq üçün nn-in 44-ə bölünməsindən qalıq götürülür. Böyük qüvvətlər üçün (a+bi)2(a+bi)^2 açılışı və ardıcıl vurma işlədilir.

📌Nümunə

Məsələn, 51+2i=5(1−2i)12+22=5(1−2i)5=1−2i\frac{5}{1+2i} = \frac{5(1-2i)}{1^2+2^2} = \frac{5(1-2i)}{5} = 1-2i.

Əsas terminlər

Xəyali vahid ii — i2=−1i^2 = -1 şərtini ödəyən ədəd; −1\sqrt{-1} kimi düşünülür.
Kompleks ədəd z=a+biz=a+bi — aa — həqiqi hissə (Re zz), bb — xəyali hissə (Im zz).
Qoşma kompleks ədəd ar z — a+bi‾=a−bi\overline{a+bi} = a-bi; xəyali hissənin işarəsi dəyişir.
zar z — (a+bi)(a−bi)=a2+b2(a+bi)(a-bi) = a^2+b^2 — həmişə mənfi olmayan həqiqi ədəd; bölmədə məxrəci həqiqiləşdirir.
ii-nin dövrü — i1=i, i2=−1, i3=−i, i4=1i^1=i,\ i^2=-1,\ i^3=-i,\ i^4=1 dörd addımdan bir təkrarlanır.
ii-nin qüvvətləri
ini^nQiymət
i1i^1ii
i2i^2−1-1
i3i^3−i-i
i4i^411
i5i^5ii
i4ki^{4k}11

ini^n üçün nn-i 44-ə bölüb qalığa görə cavab tapılır.

Əsas əməllər
ƏməlDüstur
Toplama(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i
Vurma(a+bi)(c+di)=(ac−bd)+(ad+bc)i(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i
Qoşmaa+bi‾=a−bi\overline{a+bi}=a-bi
Modul kvadratızzˉ=a2+b2z\bar z = a^2+b^2

Bölmə həmişə məxrəcin qoşmasına vurulmaqla aparılır.

✎Bölmə: 4+2i1−i\dfrac{4+2i}{1-i}
  1. 1Qoşmaya vur: Məxrəcin qoşması 1+i1+i: (4+2i)(1+i)(1−i)(1+i)\frac{(4+2i)(1+i)}{(1-i)(1+i)}.
  2. 2Məxrəci hesabla: (1−i)(1+i)=1−i2=2(1-i)(1+i) = 1 - i^2 = 2.
  3. 3Surəti aç: (4+2i)(1+i)=4+4i+2i+2i2=4+6i−2=2+6i(4+2i)(1+i) = 4+4i+2i+2i^2 = 4+6i-2 = 2+6i.
  4. 4Cavab: 2+6i2=1+3i\frac{2+6i}{2} = 1+3i.
✎ii-nin böyük qüvvəti: i2024i^{2024}
  1. 1Qalığı tap: 2024=4⋅506+02024 = 4\cdot 506 + 0, qalıq 00.
  2. 2Cavab: i2024=(i4)506=1506=1i^{2024} = (i^4)^{506} = 1^{506} = 1.
🚫Tez-tez səhv

Vurmada i2=−1i^2 = -1 əvəzini unutma: (2+i)(3−i)(2+i)(3-i)-də −i2=+1-i^2 = +1 həddi həqiqi hissəyə əlavə olunur.

⚠️Diqqət

Qoşmada yalnız xəyali hissənin işarəsi dəyişir: 4−3i‾=4+3i\overline{4-3i} = 4+3i; həqiqi hissə olduğu kimi qalır.

💡Qeyd

ini^n-i tapmaq üçün nn-i 44-ə böl: qalıq 0→10\to1, 1→i1\to i, 2→−12\to-1, 3→−i3\to-i.

💡Qeyd

Bölmədə həmişə məxrəcin qoşmasına vur; zzˉ=a2+b2z\bar z = a^2+b^2 həqiqi ədəd verib məxrəci həqiqiləşdirir.

Qaydalar

  1. 1Tərif: i2=−1i^2 = -1; kompleks ədəd z=a+biz = a+bi (aa — həqiqi, bb — xəyali hissə).
  2. 2Toplama/çıxma hissə-hissə: (a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i(a+bi)\pm(c+di) = (a\pm c)+(b\pm d)i.
  3. 3Vurma: (a+bi)(c+di)=(ac−bd)+(ad+bc)i(a+bi)(c+di) = (ac-bd)+(ad+bc)i (sonda i2=−1i^2=-1).
  4. 4Qoşma və bölmə: zˉ=a−bi\bar z = a-bi; zzˉ=a2+b2z\bar z = a^2+b^2; bölmədə məxrəcin qoşmasına vurulur.
  5. 5Qüvvətlər dövrü: i1=i, i2=−1, i3=−i, i4=1i^1=i,\ i^2=-1,\ i^3=-i,\ i^4=1; ini^n üçün n mod 4n \bmod 4 götürülür.

Məşq

15 asan · 15 orta · 15 çətin

Hər testdə təsadüfi 10 sual seçilir

AsanOrtaÇətinQarışıq