g11m-1.3· Глава 1: Числа и выражения· ~14 мин

Многочлены и алгебраические дроби

Формулы сокращённого умножения, разложение на множители, упрощение алгебраических дробей и действия над ними.

Формулы сокращённого умножения позволяют быстро раскрывать скобки у многочленов и, наоборот, разлагать их на множители: (a±b)2=a2±2ab+b2(a \pm b)^2=a^2 \pm 2ab+b^2, (a−b)(a+b)=a2−b2(a-b)(a+b)=a^2-b^2.

Алгебраическая дробь — это выражение, числитель и знаменатель которого являются многочленами; чтобы её упростить, разлагаем числитель и знаменатель на множители и сокращаем общий множитель.

При сложении дробей приводим их к общему знаменателю; значения, обращающие знаменатель в нуль, недопустимы.

📌Пример

Например: x2−9x−3=(x−3)(x+3)x−3=x+3\frac{x^2-9}{x-3} = \frac{(x-3)(x+3)}{x-3} = x+3 (при условии x≠3x \ne 3).

Ключевые термины

Многочлен — Алгебраическое выражение, представляющее собой сумму нескольких одночленов (слагаемых), например x2−14x+49x^2-14x+49.
Алгебраическая дробь — Выражение, числитель и знаменатель которого являются многочленами, например x2−9x−3\frac{x^2-9}{x-3}.
Разность квадратов — Формула (a−b)(a+b)=a2−b2(a-b)(a+b)=a^2-b^2; средний член не возникает.
Квадрат суммы (разности) — (a±b)2=a2±2ab+b2(a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2; средний член равен 2ab2ab.
Разложение на множители — Представление выражения в виде произведения; с помощью общего множителя или формулы, например x2−9=(x−3)(x+3)x^2-9=(x-3)(x+3).
Недопустимое значение — Значение xx, обращающее знаменатель в нуль; дробь в этой точке не определена (например x≠3x\ne 3).
Формулы сокращённого умножения
ФормулаРаскрытиеПример
(a+b)2(a+b)^2a2+2ab+b2a^2+2ab+b^2(x+3)2=x2+6x+9(x+3)^2=x^2+6x+9
(a−b)2(a-b)^2a2−2ab+b2a^2-2ab+b^2(x−5)2=x2−10x+25(x-5)^2=x^2-10x+25
(a−b)(a+b)(a-b)(a+b)a2−b2a^2-b^2(x+4)(x−4)=x2−16(x+4)(x-4)=x^2-16

Работает в обоих направлениях: раскрытие скобок и разложение на множители.

Действия над алгебраическими дробями
ДействиеПравилоПример
УпрощениеРазложи числитель и знаменатель на множители, сократи общий множительx2−9x−3=x+3\frac{x^2-9}{x-3}=x+3
Сложение / вычитаниеПриведи к общему знаменателю, сложи/вычти числители1x−1+1x+1=2x(x−1)(x+1)\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x+1}=\frac{2x}{(x-1)(x+1)}
УмножениеЧислитель на числитель, знаменатель на знаменательx2−9x+1⋅x+1x−3=x+3\frac{x^2-9}{x+1}\cdot\frac{x+1}{x-3}=x+3
ДелениеПереверни вторую дробь, затем умножьx+3x:x+3x2=x\frac{x+3}{x}:\frac{x+3}{x^2}=x

Сокращать можно только множитель (произведение), но не слагаемое.

✎Упростить дробь x2−3x−10x2−25\frac{x^2-3x-10}{x^2-25} (x≠±5x\ne\pm 5)
  1. 1Разложи числитель на множители: Числа с суммой −3-3 и произведением −10-10: −5-5 и +2+2. Значит x2−3x−10=(x−5)(x+2)x^2-3x-10=(x-5)(x+2).
  2. 2Разложи знаменатель на множители: Разность квадратов: x2−25=(x−5)(x+5)x^2-25=(x-5)(x+5).
  3. 3Сократи общий множитель: В выражении (x−5)(x+2)(x−5)(x+5)\frac{(x-5)(x+2)}{(x-5)(x+5)} сокращается (x−5)(x-5).
  4. 4Результат: x+2x+5\frac{x+2}{x+5}.
✎Записать 1x−2+3x+2\frac{1}{x-2}+\frac{3}{x+2} в виде одной дроби (x≠±2x\ne\pm 2)
  1. 1Найди общий знаменатель: Общий знаменатель (x−2)(x+2)=x2−4(x-2)(x+2)=x^2-4.
  2. 2Расширь числители: 1⋅(x+2)(x−2)(x+2)+3⋅(x−2)(x−2)(x+2)\frac{1\cdot(x+2)}{(x-2)(x+2)}+\frac{3\cdot(x-2)}{(x-2)(x+2)}.
  3. 3Сложи числители: (x+2)+3(x−2)=x+2+3x−6=4x−4(x+2)+3(x-2)=x+2+3x-6=4x-4.
  4. 4Результат: 4x−4(x−2)(x+2)\frac{4x-4}{(x-2)(x+2)}.
🚫Частая ошибка

Записывать (x−7)2(x-7)^2 как x2−49x^2-49 — ошибка: это произведение (x−7)(x+7)(x-7)(x+7), в квадрате пропущен средний член −14x-14x. Правильно: x2−14x+49x^2-14x+49.

⚠️Внимание

Сокращать можно только множитель. В дроби типа x2−3x−10x−5\frac{x^2-3x-10}{x-5} разложи числитель как (x−5)(x+2)(x-5)(x+2) и сократи множитель (x−5)(x-5), а не число −10-10.

💡Заметка

Проверка полноты разложения: в скобках не должно оставаться общего множителя. 10x3−15x2=5x2(2x−3)10x^3-15x^2=5x^2(2x-3) — полное разложение, 5x(2x2−3x)5x(2x^2-3x) — нет.

⚠️Внимание

При делении переверни вторую дробь, затем умножай: x2−92x:x+34x2=x2−92x⋅4x2x+3=2x(x−3)\frac{x^2-9}{2x}:\frac{x+3}{4x^2}=\frac{x^2-9}{2x}\cdot\frac{4x^2}{x+3}=2x(x-3).

💡Заметка

Формулы сокращённого умножения удобны и для быстрых вычислений: 49⋅51=(50−1)(50+1)=502−1=249949\cdot 51=(50-1)(50+1)=50^2-1=2499.

Правила

  1. 1(a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)^2=a^2+2ab+b^2, (a−b)2=a2−2ab+b2(a-b)^2=a^2-2ab+b^2, (a−b)(a+b)=a2−b2(a-b)(a+b)=a^2-b^2.
  2. 2Чтобы упростить дробь, разложи числитель и знаменатель на множители и сократи общий множитель.
  3. 3Сокращать можно только множитель (произведение) — слагаемое сократить нельзя.
  4. 4Значения, обращающие знаменатель в нуль, недопустимы (xx не может равняться им).
  5. 5Для сложения и вычитания дробей приводи к общему знаменателю; при умножении числитель умножается на числитель, знаменатель — на знаменатель.

Тренировка

15 лёгких · 15 средних · 15 сложных

В каждом тесте — 10 случайных вопросов

ЛёгкийСреднийСложныйМикс