g11m-1.4· Глава 1: Числа и выражения· ~14 мин

Текстовые задачи: движение, работа и смеси

Решение задач на движение (скорость $\cdot$ время $\cdot$ путь), совместную работу, смеси и сплавы, применение процентов с помощью уравнений.

Для решения текстовой задачи обозначим неизвестное буквой и составим уравнение по условию. В задачах на движение основное соотношение: путь $=$ скорость $\cdot$ время ( $s = v \cdot t$ ); скорость против течения ( $v-u$ ), скорость по течению ( $v+u$ ).

В задачах на совместную работу вся работа принимается равной $1$ , производительность каждого работника за единицу времени равна $\frac{1}{t}$ , а совместная производительность — сумма этих дробей.

В задачах на смеси и сплавы масса вещества $=$ масса раствора $\cdot$ концентрация ( $\frac{\text{процент}}{100}$ ), при смешивании массы чистых веществ складываются. Во всех задачах удобно заносить величины в таблицу — это снижает количество ошибок.

Пример: бассейн заполняется первой трубой за $6$ часов, второй за $12$ часов; вместе за один час они заполняют $\frac{1}{6}+\frac{1}{12} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$ часть, значит бассейн наполнится за $4$ часа.

Ключевые термины

Формула движения — Путь

=

скорость

\cdot

время, то есть

s = v \cdot t

; отсюда

v = \frac{s}{t}

t = \frac{s}{v}

Скорость против течения и по течению — Если собственная скорость

v

, скорость течения

u

, то скорость против течения

v-u

, скорость по течению

v+u

Производительность — Вся работа принимается равной

1

; производительность работника, выполняющего работу за

t

часов, равна

\frac{1}{t}

в час.

Совместная производительность — Суммарная производительность тех, кто работает вместе, равна сумме отдельных дробей, например

\frac{1}{t_1}+\frac{1}{t_2}

Концентрация — Чистое вещество

=

масса раствора

\cdot\frac{\text{процент}}{100}

; концентрация

=\frac{\text{чистое вещество}}{\text{масса раствора}}

Средняя скорость — Отношение всего пути ко всему времени:

v_{\text{ср}} = \frac{s_{\text{общ}}}{t_{\text{общ}}}

; это не простое среднее скоростей.

Типы задач и основные соотношения

Тип задачи	Основная формула	Примечание
Движение	$s = v \cdot t$	Путь $=$ скорость $\cdot$ время
Течение (против/по)	$v-u$ / $v+u$	Против — вычитаем, по — прибавляем
Совместная работа	$\frac{1}{t_1}+\frac{1}{t_2}$	Вся работа $=1$ , производительности складываются
Смесь/сплав	чистое $=$ масса $\cdot\frac{\text{процент}}{100}$	Массы чистых веществ складываются

В каждом типе обозначаем неизвестное буквой и составляем уравнение по условию.

Примеры скорости течения и чистого вещества

Дано	Вычисление	Результат
$v=12$ , $u=3$ , против течения	$12-3$	$9$ км/ч
$v=10$ , $u=2$ , по течению	$10+2$	$12$ км/ч
$40\%$ -ный, $200$ г	$\frac{200\cdot 40}{100}$	$80$ г чистой соли
$100$ г, $20$ г соли	$\frac{20}{100}$	Концентрация $20\%$

Процент не переносится напрямую в граммы — его нужно умножить на массу.

✎Совместная работа: за сколько часов две трубы вместе наполнят бассейн

1Запишем производительности: Производительность первой трубы $\frac{1}{4}$ , второй $\frac{1}{6}$ (бассейн заполняется за $4$ и $6$ часов соответственно).
2Совместная производительность: За один час вместе они заполняют $\frac{1}{4}+\frac{1}{6}=\frac{3}{12}+\frac{2}{12}=\frac{5}{12}$ части.
3Найдём время: Так как вся работа равна $1$ , время $t=\frac{1}{\frac{5}{12}}=\frac{12}{5}=2{,}4$ часа.
4Ответ: Вместе бассейн наполнится за $2{,}4$ часа.

✎Движение: нахождение запланированной скорости

1Обозначим неизвестное: Пусть запланированная скорость $v$ ; расстояние $210$ км. Времена в пути: $\frac{210}{v}$ и $\frac{210}{v+10}$ .
2Составим уравнение: При увеличении скорости на $10$ прибудет на $0{,}5$ часа раньше: $\frac{210}{v}-\frac{210}{v+10}=0{,}5$ .
3Проверим варианты: При $v=60$ : $\frac{210}{60}-\frac{210}{70}=3{,}5-3=0{,}5$ . Условие выполнено.
4Ответ: Запланированная скорость $60$ км/ч (увеличенная — $70$ км/ч).

🚫Частая ошибка

В задачах на совместную работу складываются производительности ( $\frac{1}{t}$ ), а не времена; умножать $\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{3}$ — тоже ошибка.

⚠️Внимание

Средняя скорость — не простое среднее скоростей: при равных расстояниях $\frac{80+120}{2}=100$ неверно, нужно считать $\frac{s_{\text{общ}}}{t_{\text{общ}}}$ .

⚠️Внимание

В задачах на концентрацию знаменатель — это масса всего раствора: при добавлении воды знаменатель увеличивается; делить только на добавку или на старую массу — ошибка.

💡Заметка

Течение: «против» $\Rightarrow$ вычитай ( $v-u$ ), «по» $\Rightarrow$ прибавляй ( $v+u$ ); скорости никогда не перемножаются.

💡Заметка

В конце проверь, удовлетворяет ли найденный корень условию задачи (положительность, реальность), иначе рискуешь принять посторонний корень уравнения за ответ.

Правила

1Обозначь неизвестное буквой, составь уравнение (или систему уравнений) по условию задачи.
2В задачах на движение путь $=$ скорость $\cdot$ время ( $s = v \cdot t$ ); против течения $v-u$ , по течению $v+u$ .
3В задачах на работу вся работа принимается равной $1$ ; производительность $\frac{1}{t}$ , совместная производительность — сумма дробей.
4В задачах на смеси чистое вещество $=$ масса $\cdot\frac{\text{концентрация}}{100}$ ; при смешивании массы чистых веществ складываются.
5В конце проверь, удовлетворяет ли полученный корень условию задачи (положительность, реальность значения).

Тренировка

15 лёгких · 15 средних · 15 сложных

В каждом тесте — 10 случайных вопросов

Лёгкий Средний Сложный Микс