Какое утверждение о пустом множестве varnothing является верным?

Оно не содержит ни одного элемента и является подмножеством любого множества

Оно содержит один элемент

Оно состоит только из элемента ноль

Оно является наибольшим множеством

Каково отрицание высказывания «2 — чётное число»?

2 — не чётное число

2 — нечётное число

2 — положительное число

g11m-1.5· Глава 1: Числа и выражения· ~13 мин

Множества и элементы логики

Операции над множествами (объединение, пересечение, разность), диаграмма Венна, количество элементов и основы логики.

Множество — это совокупность элементов, объединённых по некоторому признаку. Основные операции: объединение $A \cup B$ (элементы, принадлежащие хотя бы одному из множеств), пересечение $A \cap B$ (элементы, принадлежащие обоим), разность $A \setminus B$ (элементы, принадлежащие $A$ , но не $B$ ).

Для подсчёта элементов применяется формула включений-исключений: $n(A \cup B) = n(A)+n(B)-n(A \cap B)$ . Пустое множество $\varnothing$ не содержит ни одного элемента; количество подмножеств множества $A$ равно $2^n$ , где $n$ — число элементов.

В элементах логики изучаются истинность/ложность высказываний, отрицание, связки «и»/«или».

Пример: в классе $18$ учеников учат английский, $15$ — немецкий, $7$ учат оба языка, значит, хотя бы один язык учат $18+15-7 = 26$ человек.

Ключевые термины

Объединение

A \cup B

— Множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из

A

или

B

Пересечение

A \cap B

— Множество, состоящее из общих элементов, принадлежащих как

A

, так и

B

Разность

A \setminus B

— Множество элементов, принадлежащих

A

, но не принадлежащих

B

Пустое множество

\varnothing

— Множество, не содержащее ни одного элемента; является подмножеством любого множества.

Подмножество — Количество всех подмножеств множества из

n

элементов равно

2^n

; пустое множество тоже включается.

Формула включений-исключений —

n(A \cup B) = n(A)+n(B)-n(A \cap B)

; общая часть вычитается, чтобы не считать её дважды.

Формулы операций над множествами

Операция	Обозначение	Смысл
Объединение	$A \cup B$	Элементы, принадлежащие хотя бы одному
Пересечение	$A \cap B$	Элементы, принадлежащие обоим
Разность	$A \setminus B$	Элементы из $A$ , не принадлежащие $B$
Число элементов	$n(A \cup B)$	$n(A)+n(B)-n(A \cap B)$
Число подмножеств	$2^n$	$n$ — количество элементов

Основные операции над множествами и формулы подсчёта.

Пример:

A=\{1,2,3\}

B=\{3,4,5\}

Операция	Результат
$A \cup B$	$\{1,2,3,4,5\}$
$A \cap B$	$\{3\}$
$A \setminus B$	$\{1,2\}$
$B \setminus A$	$\{4,5\}$

Общий элемент $3$ в объединении пишется один раз, а в пересечении он и есть единственный элемент.

✎Нахождение

n(A \cap B)

по формуле включений-исключений

1Дано: $n(A \cup B)=25$ , $n(A)=16$ , $n(B)=14$ ; найти $n(A \cap B)$ .
2Преобразуем формулу: Из $n(A \cup B)=n(A)+n(B)-n(A \cap B)$ следует $n(A \cap B)=n(A)+n(B)-n(A \cup B)$ .
3Подставляем значения: $n(A \cap B)=16+14-25$ .
4Ответ: $n(A \cap B)=30-25=5$ .

✎Число не играющих ни в одну игру (группа из 30 человек)

1Дано: Всего $30$ человек; $18$ играют в футбол, $14$ — в баскетбол, оба вида $9$ человек.
2Находим объединение: Играющих хотя бы в одну игру: $n(A \cup B)=18+14-9=23$ .
3Вычитаем из общего числа: Не играющих ни в одну: $30-23$ .
4Ответ: $30-23=7$ человек не играют ни в одну игру.

🚫Частая ошибка

Не теряйте общий элемент при объединении: $\{1,2,3\} \cup \{3,4,5\}=\{1,2,3,4,5\}$ — элемент $3$ не пропускается, но и не записывается дважды.

⚠️Внимание

$n(A \cup B)=n(A)+n(B)-n(A \cap B)$ : общая часть вычитается один раз. Если оставить только сложение ( $+$ ), общие элементы будут посчитаны дважды.

⚠️Внимание

Не путайте количество элементов и количество подмножеств: в $\{a,b,c\}$ — $3$ элемента, но $2^3=8$ подмножеств (включая пустое).

💡Заметка

Если $A \cap B=\varnothing$ , пересечение пусто, поэтому $n(A \cup B)=n(A)+n(B)$ — просто складываем.

💡Заметка

В разности важен порядок: $A \setminus B$ и $B \setminus A$ — разные множества; из каждого вычитаются общие элементы.

Правила

1Объединение $A \cup B$ — элементы, принадлежащие хотя бы одному; пересечение $A \cap B$ — обоим; разность $A \setminus B$ — принадлежащие $A$ , но не $B$ .
2Включение-исключение: $n(A \cup B) = n(A)+n(B)-n(A \cap B)$ .
3Пустое множество $\varnothing$ не содержит ни одного элемента; оно является подмножеством любого множества.
4Количество подмножеств множества из $n$ элементов равно $2^n$ .
5На диаграмме Венна отмечай каждую область отдельно, вычитай общую часть, чтобы не посчитать её дважды.

Тренировка

15 лёгких · 15 средних · 15 сложных

В каждом тесте — 10 случайных вопросов

Лёгкий Средний Сложный Микс