g11m-1.6· Глава 1: Числа и выражения· ~13 мин

Теория чисел: делимость, НОД и НОК

Признаки делимости, разложение на простые множители, наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное.

Признаки делимости позволяют определить, делится ли число на заданный делитель без выполнения деления: на 22 (последняя цифра чётна), на 33 (сумма цифр делится на 33), на 55 (последняя цифра 00 или 55), на 99 (сумма цифр делится на 99), на 1010 (последняя цифра 00).

Каждое натуральное число единственным образом записывается в виде произведения простых множителей. Наибольший общий делитель (НОД) двух чисел равен произведению общих простых множителей с наименьшими степенями, а наименьшее общее кратное (НОК) — произведению всех простых множителей с наибольшими степенями.

Важное соотношение: НОД(a,b)⋅НОК(a,b)=a⋅b\text{НОД}(a,b) \cdot \text{НОК}(a,b) = a \cdot b.

📌Пример

Например: так как 12=22⋅312 = 2^2 \cdot 3 и 18=2⋅3218 = 2 \cdot 3^2, то НОД(12,18)=2⋅3=6(12,18) = 2 \cdot 3 = 6, НОК(12,18)=22⋅32=36(12,18) = 2^2 \cdot 3^2 = 36; проверка: 6⋅36=216=12⋅186 \cdot 36 = 216 = 12 \cdot 18.

Ключевые термины

Признак делимости — Правило, позволяющее определить, делится ли число на заданный делитель без выполнения деления (например, делимость на 33 определяется по сумме цифр).
Простое число — Натуральное число, делящееся только на 11 и на себя; например, 2929 — простое, а 21=3⋅721=3\cdot 7 — составное.
Разложение на простые множители — Единственное представление натурального числа в виде произведения простых множителей; например 36=22⋅3236=2^2\cdot 3^2.
НОД — Наибольший общий делитель: произведение общих простых множителей с наименьшими степенями.
НОК — Наименьшее общее кратное: произведение всех простых множителей с наибольшими степенями.
Взаимно простые числа — Числа, НОД которых равен 11; например 8=238=2^3 и 15=3⋅515=3\cdot 5 — взаимно простые.
Признаки делимости
ДелительПризнакПример
22Последняя цифра чётна6060
33Сумма цифр делится на 33231231
44Последние две цифры делятся на 44416416
55Последняя цифра 00 или 55470470
99Сумма цифр делится на 99405405
1010Последняя цифра 00250250

Проверка делимости без выполнения деления.

Формулы НОД, НОК и числа делителей
ПонятиеФормула
НОДПроизведение общих множителей с наименьшими степенями
НОКПроизведение всех множителей с наибольшими степенями
Основное соотношениеНОД(a,b)⋅НОК(a,b)=a⋅b\text{НОД}(a,b)\cdot \text{НОК}(a,b)=a\cdot b
Число делителейДля n=paqbn=p^a q^b: (a+1)(b+1)(a+1)(b+1)

Основные формулы теории чисел.

✎НОД и НОК чисел 5454 и 2424
  1. 1Разложи на простые множители: 54=2⋅3354=2\cdot 3^3 и 24=23⋅324=2^3\cdot 3.
  2. 2Найди НОД: Общие множители с наименьшими степенями: НОД=21⋅31=6\text{НОД}=2^1\cdot 3^1=6.
  3. 3Найди НОК: Все множители с наибольшими степенями: НОК=23⋅33=216\text{НОК}=2^3\cdot 3^3=216.
  4. 4Проверь произведение: НОД⋅НОК=6⋅216=1296=54⋅24\text{НОД}\cdot \text{НОК}=6\cdot 216=1296=54\cdot 24.
✎Число положительных делителей числа 240240
  1. 1Разложи на простые множители: 240=24⋅3⋅5240=2^4\cdot 3\cdot 5.
  2. 2Запиши показатели степеней: Степень 22 равна 44, степень 33 равна 11, степень 55 равна 11.
  3. 3Примени формулу: Число делителей: (4+1)(1+1)(1+1)(4+1)(1+1)(1+1).
  4. 4Вычисли: 5⋅2⋅2=205\cdot 2\cdot 2=20 положительных делителей.
⚠️Внимание

Не путай НОД и НОК: НОД берёт наименьшие степени общих множителей, а НОК — наибольшие степени всех множителей.

🚫Частая ошибка

В задачах типа 5454 ошибочно писать 2⋅a⋅b2\cdot a\cdot b вместо a⋅ba\cdot b: НОД⋅НОК=a⋅b\text{НОД}\cdot \text{НОК}=a\cdot b, никакого дополнительного коэффициента нет.

🚫Частая ошибка

При разложении на простые множители не пиши 22⋅92^2\cdot 9: 99 не является простым числом; правильная форма 22⋅322^2\cdot 3^2.

💡Заметка

Число делителей числа n=paqbn=p^a q^b находится по формуле (a+1)(b+1)(a+1)(b+1); для этого сначала разложи число на простые множители.

⚠️Внимание

В задачах на совпадение (одновременное появление) нужен НОК, а в задачах на наибольшую общую меру/плитку — НОД; не произведение.

Правила

  1. 1Делимость: на 33 и 99 — по сумме цифр; на 22, 55, 1010 — по последней цифре.
  2. 2Каждое натуральное число единственным образом разлагается на простые множители.
  3. 3НОД == произведение общих простых множителей с наименьшими степенями.
  4. 4НОК == произведение всех простых множителей с наибольшими степенями.
  5. 5НОД(a,b)⋅НОК(a,b)=a⋅b\text{НОД}(a,b) \cdot \text{НОК}(a,b) = a \cdot b.

Тренировка

15 лёгких · 15 средних · 15 сложных

В каждом тесте — 10 случайных вопросов

ЛёгкийСреднийСложныйМикс