Каков(ы) корень(корни) уравнения x^2-6x+9=0?

x=3 (двукратный корень)

x=-3 (двукратный корень)

g11m-2.1· Глава 2: Уравнения и неравенства· ~18 мин

Квадратные уравнения и теорема Виета

Дискриминант, формула корней, теорема Виета, симметрические выражения и разложение на множители.

Дискриминант квадратного уравнения $ax^2+bx+c=0$ ( $a\ne 0$ ) вычисляется по формуле $D=b^2-4ac$ . При $D>0$ уравнение имеет два различных вещественных корня, при $D=0$ — один (двукратный) корень, при $D<0$ — вещественных корней нет. Формула корней: $x=\dfrac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}$ .

По теореме Виета $x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}$ и $x_1\cdot x_2=\dfrac{c}{a}$ . Приведённое квадратное уравнение с корнями $x_1$ и $x_2$ : $x^2-(x_1+x_2)x+x_1\cdot x_2=0$ .

Симметрические выражения вычисляются с помощью формул Виета: $x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$ , $\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}=\dfrac{x_1+x_2}{x_1x_2}$ . Квадратный трёхчлен раскладывается на множители: $ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$ .

Ключевые термины

Квадратное уравнение — Уравнение вида

ax^2+bx+c=0

(

a\ne 0

);

a

— старший коэффициент,

b

— средний коэффициент,

c

— свободный член.

Дискриминант — Выражение

D=b^2-4ac

; определяет количество и характер корней.

Формула корней — По формуле

x=\dfrac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}

находятся корни уравнения.

Теорема Виета —

x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}

x_1\cdot x_2=\dfrac{c}{a}

; сумма и произведение корней известны без нахождения самих корней.

Приведённое квадратное уравнение — Уравнение при

a=1

x^2-(x_1+x_2)x+x_1\cdot x_2=0

, то есть

x^2+bx+c=0

Разложение на множители — Квадратный трёхчлен раскладывается через корни:

ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)

Знак дискриминанта и количество корней

Условие	Количество вещественных корней	Формула корней
$D>0$	Два различных вещественных корня	$x=\dfrac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}$
$D=0$	Один (двукратный) корень	$x=\dfrac{-b}{2a}$
$D<0$	Вещественных корней нет	—

Количество корней квадратного уравнения в зависимости от значения $D=b^2-4ac$ .

Теорема Виета и симметрические выражения

Выражение	Формула
Сумма корней	$x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}$
Произведение корней	$x_1\cdot x_2=\dfrac{c}{a}$
Сумма квадратов	$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$
Сумма обратных значений	$\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}=\dfrac{x_1+x_2}{x_1x_2}$

Выражения, вычисляемые по формулам Виета без нахождения самих корней.

✎Решение уравнения

x^2-9x+20=0

через дискриминант

1Запиши коэффициенты: $a=1$ , $b=-9$ , $c=20$ .
2Вычисли дискриминант: $D=b^2-4ac=(-9)^2-4\cdot 1\cdot 20=81-80=1$ .
3Так как $D>0$ , есть два корня: $x=\dfrac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}=\dfrac{9\pm\sqrt{1}}{2}=\dfrac{9\pm 1}{2}$ .
4Найди корни: $x_1=\dfrac{9+1}{2}=5$ , $x_2=\dfrac{9-1}{2}=4$ .
5Ответ: $x_1=5$ , $x_2=4$ . Проверка (Виет): сумма $5+4=9=-b$ , произведение $5\cdot 4=20=c$ .

✎Нахождение

x_1^2+x_2^2

для

x^2-6x+4=0

по Виету

1Формулы Виета: $x_1+x_2=-b=6$ , $x_1\cdot x_2=c=4$ .
2Запиши нужное тождество: $x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$ .
3Подставь значения: $x_1^2+x_2^2=6^2-2\cdot 4=36-8$ .
4Ответ: $x_1^2+x_2^2=28$ .

⚠️Внимание

Сумма корней равна $x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}$ — следи за знаком. Например, для $x^2-10x+21=0$ сумма равна $-(-10)=+10$ , а не $-10$ .

🚫Частая ошибка

Не путай сумму и произведение в теореме Виета: в $x^2-10x+21=0$ число $21$ — это произведение корней ( $\dfrac{c}{a}$ ), а сумма равна $-b=10$ .

🚫Частая ошибка

При вычислении $x_1^2+x_2^2$ не забывай слагаемое $-2x_1x_2$ : $x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$ , а не просто $(x_1+x_2)^2$ .

💡Заметка

При $D<0$ вещественных корней нет. Для $x^2-5x+7=0$ : $D=25-28=-3<0$ , значит, $0$ вещественных корней.

💡Заметка

Проверяй знак корней по Виету: если произведение положительно и сумма положительна — оба корня положительны; если произведение отрицательно — корни разного знака.

Правила

1Дискриминант: $D=b^2-4ac$ . Расставляй знаки правильно.
2Формула корней: $x=\dfrac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}$ .
3Виет (при $a=1$ ): $x_1+x_2=-b$ , $x_1\cdot x_2=c$ .
4В общем случае: $x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}$ , $x_1\cdot x_2=\dfrac{c}{a}$ .
5 $x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$ .
6 $ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$ .

Тренировка

15 лёгких · 15 средних · 15 сложных

В каждом тесте — 10 случайных вопросов

Лёгкий Средний Сложный Микс