g11m-2.2· Глава 2: Уравнения и неравенства· ~22 мин

Дробно-рациональные и иррациональные уравнения

Знаменатель $\ne 0$ , недопустимые значения, возведение в квадрат и проверка посторонних корней.

Дробно-рациональное уравнение — это уравнение, в котором переменная стоит в знаменателе. При решении сначала находим недопустимые значения (те, при которых знаменатель обращается в нуль): эти значения не могут входить в ответ. Обычно умножаем обе части на общий знаменатель, решаем полученное уравнение, затем проверяем, не являются ли корни недопустимыми.

Иррациональное уравнение — это уравнение, в котором переменная стоит под знаком корня. Чтобы решить его, выделяем корень и возводим обе части в квадрат; однако возведение в квадрат может породить посторонние (лишние) корни, поэтому каждый корень обязательно нужно проверить в исходном уравнении.

В сложных уравнениях применяют метод замены: например, $t=\sqrt{x}$ или $t=x^2+x$ превращает уравнение в простое квадратное.

📌Пример

Например: $\sqrt{x+2}=x$ → возведём в квадрат: $x+2=x^2$ → $x^2-x-2=0$ → $x=2$ или $x=-1$ . Проверка: при $x=2$ $\sqrt{4}=2$ ✓; при $x=-1$ $\sqrt{1}=1\ne -1$ ✗, значит $x=-1$ — посторонний корень и отбрасывается.

Ключевые термины

Дробно-рациональное уравнение — Уравнение, в котором переменная стоит в знаменателе. При решении значения, обращающие знаменатель в нуль, не могут входить в ответ.

Недопустимое значение — Значение

x

, обращающее знаменатель в нуль; выражение не определено в этой точке и не может быть корнем.

Иррациональное уравнение — Уравнение, в котором переменная стоит под знаком корня, например

\sqrt{x+5}=3

; решается возведением в квадрат.

Посторонний (лишний) корень — Значение, возникшее после возведения в квадрат, но не удовлетворяющее исходному уравнению; при проверке отбрасывается.

Метод замены — Способ замены

t=\sqrt{x}

или

t=x^2

для сведения уравнения к простому квадратному.

Равенство дроби нулю —

\frac{a}{b}=0

выполняется тогда и только тогда, когда числитель

a=0

и знаменатель

b\ne 0

Правила решения: дробно-рациональные и иррациональные уравнения

Тип уравнения	Ключевое условие	Шаг решения
Дробно-рациональное	знаменатель $\ne 0$	Найди недопустимое значение, умножь на общий знаменатель, проверь корень
$\frac{a}{b}=0$	$a=0$ , $b\ne 0$	Корнем является только то значение, которое обнуляет числитель
$\sqrt{A}=B$	$B\ge 0$	Выдели корень, возведи в квадрат: $A=B^2$
Иррациональное (возведение в квадрат)	риск постороннего корня	Проверь каждый корень в исходном уравнении, посторонний отброси
Замена ( $t=\sqrt{x}$ )	$t\ge 0$	Найди $t$ , затем верни замену: $x=t^2$

Каждое возведение в квадрат может порождать посторонние корни — проверка обязательна.

Знак правой части и посторонний корень (

\sqrt{A}=B

)

Пример	Найденные кандидаты	Результат проверки
$\sqrt{x+2}=x$	$x=2$ , $x=-1$	$x=2$ — корень; $x=-1$ — посторонний ( $B<0$ )
$\sqrt{x+6}=x$	$x=3$ , $x=-2$	$x=3$ — корень; $x=-2$ — посторонний ( $B<0$ )
$\sqrt{x-2}=x-4$	$x=3$ , $x=6$	$x=6$ — корень; $x=3$ — посторонний ( $3-4<0$ )

В уравнении $\sqrt{A}=B$ , если правая часть $B$ отрицательна, этот кандидат является посторонним корнем.

✎Иррациональное уравнение и отброс постороннего корня:

\sqrt{x+6}=x

1Допустимое условие: Так как $\sqrt{x+6}=x$ , правая часть должна удовлетворять $x\ge 0$ .
2Возвести в квадрат: $x+6=x^2$ , то есть $x^2-x-6=0$ .
3Решить квадратное уравнение: Корни $x=3$ и $x=-2$ (так как $3\cdot(-2)=-6$ , $3+(-2)=1$ ).
4Проверка $x=3$ : $\sqrt{3+6}=\sqrt{9}=3$ ✓ — корень.
5Проверка $x=-2$ : $\sqrt{-2+6}=\sqrt{4}=2$ , но правая часть $-2$ ; $2\ne -2$ ✗ — посторонний корень.
6Ответ: $x=3$ .

✎Метод замены:

x-5\sqrt{x}+6=0

1Замена: Обозначим $t=\sqrt{x}$ ( $t\ge 0$ ); тогда $x=t^2$ и уравнение принимает вид $t^2-5t+6=0$ .
2Решить квадратное уравнение: $t^2-5t+6=0 \Rightarrow t=2$ или $t=3$ (так как $2\cdot 3=6$ , $2+3=5$ ).
3Обратная замена: Так как $t=\sqrt{x}$ , то $x=t^2$ : $t=2 \Rightarrow x=4$ , $t=3 \Rightarrow x=9$ .
4Проверка: $x=4$ : $4-5\cdot 2+6=0$ ✓; $x=9$ : $9-5\cdot 3+6=0$ ✓.
5Ответ: $x=4$ и $x=9$ .

🚫Частая ошибка

Ошибка — записывать найденные значения $t$ как ответ: они являются значениями $\sqrt{x}$ . Чтобы найти $x$ , возведи в квадрат: $t=2 \Rightarrow x=4$ , $t=3 \Rightarrow x=9$ .

⚠️Внимание

В уравнении $\sqrt{A}=B$ если правая часть $B<0$ , то этот кандидат является посторонним корнем и отбрасывается — квадратный корень не может быть отрицательным.

⚠️Внимание

В дробно-рациональном уравнении значение, обращающее знаменатель в нуль (например, $x=2$ для $x-2$ ), является недопустимым; даже если оно формально удовлетворяет уравнению, корнем быть не может.

💡Заметка

$\frac{a}{b}=0$ выполняется только тогда, когда числитель $a=0$ , а знаменатель $b\ne 0$ — поэтому найди значение, обнуляющее числитель, а затем проверь знаменатель.

💡Заметка

После возведения в квадрат подставь КАЖДЫЙ найденный корень в исходное уравнение — возведение в квадрат может порождать посторонние корни.

Правила

1В дробно-рациональном уравнении сначала найди недопустимые значения, обращающие знаменатель в нуль.
2Если дробь равна нулю ( $\frac{a}{b}=0$ ), числитель должен быть равен нулю, а знаменатель — отличен от нуля.
3В иррациональном уравнении выдели корень, затем возведи обе части в квадрат.
4В уравнении $\sqrt{A}=B$ необходимо $B\ge 0$ ; отрицательная правая часть не даёт корней.
5После возведения в квадрат проверь каждый найденный корень в исходном уравнении — посторонние корни отбрасывай.
6При методе замены ( $t=\sqrt{x}$ или $t=$ выражение) в конце подставь $t$ обратно, найди $x$ и проверь допустимость.

Тренировка

15 лёгких · 15 средних · 15 сложных

В каждом тесте — 10 случайных вопросов

Лёгкий Средний Сложный Микс