g11m-2.3· Глава 2: Уравнения и неравенства· ~20 мин

Показательные и логарифмические уравнения

Показательные и логарифмические уравнения, метод замены переменной и простые неравенства.

Показательное уравнение. В показательных уравнениях с равными основаниями: если выражения вида $a^x$ равны, то и показатели равны: при $a>0$ , $a\ne 1$ выполняется $a^{f(x)}=a^{g(x)}\iff f(x)=g(x)$ . Пример: $2^x=16=2^4$ → $x=4$ . Иногда замена $t=a^x$ сводит уравнение к квадратному: в уравнении $4^x-5\cdot 2^x+4=0$ при замене $t=2^x$ получаем $t^2-5t+4=0$ → $t=1$ или $t=4$ → $2^x=1$ ( $x=0$ ) или $2^x=4$ ( $x=2$ ). Внимание: так как $t=a^x>0$ , отрицательные и нулевые значения $t$ отбрасываются.

Логарифмическое уравнение. Выражение $\log_a x$ определено лишь при $x>0$ и $a>0$ , $a\ne 1$ . Поэтому при решении логарифмического уравнения сначала записывают ОБЛАСТЬ ОПРЕДЕЛЕНИЯ (все подлогарифмические выражения должны быть положительны), затем найденные корни проверяются на это условие — корень, не удовлетворяющий условию, отбрасывается как посторонний. Пример: $\log_2 x=3$ → $x=2^3=8$ ( $8>0$ ✓). $\log_2(x)+\log_2(x-2)=3$ → $\log_2(x(x-2))=3$ → $x^2-2x=8$ → $x^2-2x-8=0$ → $x=4$ или $x=-2$ ; так как область определения $x>2$ , принимается только $x=4$ .

Простые неравенства. При $a>1$ функция возрастает, знак сохраняется: $2^x>8\iff x>3$ , $\log_2 x>3\iff x>8$ . При $0<a<1$ функция убывает, знак неравенства меняется на противоположный: $\left(\tfrac{1}{2}\right)^x>\tfrac{1}{8}\iff x<3$ . В логарифмическом неравенстве также необходимо учитывать область определения ( $x>0$ ).

Ключевые термины

Показательное уравнение — Уравнение, в котором неизвестное стоит в показателе. При

a>0

a\ne 1

a^{f(x)}=a^{g(x)}\iff f(x)=g(x)

Приведение к одному основанию — Записать обе части в виде степени одного основания и приравнять показатели:

2^x=16=2^4\Rightarrow x=4

Метод замены переменной — Замена

t=a^x

сводит показательное уравнение к квадратному; при этом обязательно

t>0

Логарифмическое уравнение — Уравнение, в котором неизвестное стоит под знаком логарифма.

\log_a x=b\iff x=a^b

(

x>0

a>0

a\ne 1

Область определения — Условие положительности всех подлогарифмических выражений; корни сначала проверяются на это условие.

Посторонний корень — Корень, формально удовлетворяющий уравнению, но нарушающий область определения (

x>0

и т. д.); из ответа исключается.

Основные правила показательных и логарифмических уравнений

Случай	Правило	Пример
Одинаковое основание	$a^{f}=a^{g}\iff f=g$	$2^x=16\Rightarrow x=4$
Определение логарифма	$\log_a x=b\iff x=a^b$	$\log_2 x=3\Rightarrow x=8$
Сумма логарифмов	$\log_a f+\log_a g=\log_a(fg)$	$\log_2 x+\log_2(x-2)=3$
Замена переменной	$t=a^x>0$ , свести к квадратному	$4^x-5\cdot 2^x+4=0$
Отрицательный показатель	$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$	$3^x=\frac{1}{9}\Rightarrow x=-2$

Перед решением уравнения выбери подходящее правило.

Поведение знака в неравенствах

Основание $a$	Знак	Пример
$a>1$ (возрастающая)	сохраняется	$2^x>8\iff x>3$
$a>1$ (возрастающая)	сохраняется	$\log_2 x>3\iff x>8$
$0<a<1$ (убывающая)	меняется на противоположный	$\left(\frac{1}{2}\right)^x>\frac{1}{8}\iff x<3$
$0<a<1$ (убывающая)	меняется + область определения	$\log_{1/2}x>-2\iff 0<x<4$

В логарифмическом неравенстве всегда учитывай условие $x>0$ .

✎Показательное уравнение методом замены:

4^x-5\cdot 2^x+4=0

1Вводим замену: Так как $4^x=(2^x)^2$ , положим $t=2^x$ ( $t>0$ ).
2Квадратное уравнение: Уравнение принимает вид $t^2-5t+4=0$ .
3Корни по $t$ : $t^2-5t+4=0\Rightarrow t=1$ или $t=4$ (оба $>0$ , принимаются).
4Возврат к $x$ : $2^x=1\Rightarrow x=0$ ; $2^x=4\Rightarrow x=2$ .
5Ответ: $x=0$ или $x=2$ .

✎Логарифмическое уравнение и область определения:

\log_2 x+\log_2(x-2)=3

1Область определения: $x>0$ и $x-2>0\Rightarrow x>2$ .
2Объединяем сумму: $\log_2\big(x(x-2)\big)=3$ .
3Раскрываем логарифм: $x(x-2)=2^3=8\Rightarrow x^2-2x-8=0$ .
4Находим корни: $x^2-2x-8=0\Rightarrow x=4$ или $x=-2$ .
5Проверка и ответ: По условию $x>2$ корень $x=-2$ является посторонним; ответ $x=4$ .

⚠️Внимание

При замене $t=a^x>0$ : отрицательные и нулевые значения $t$ отбрасывай, затем обязательно возвращайся к $x$ : $3^x=3\iff x=1$ , не принимай $t$ непосредственно за $x$ .

🚫Частая ошибка

В уравнении $\log_4 x=2$ ответ не $8$ ( $4\cdot 2$ ) и не $6$ ( $4+2$ ); правильная операция: $x=4^2=16$ .

🚫Частая ошибка

В уравнении с несколькими логарифмами проверяй корни на область определения: в $\log_2(x+1)+\log_2(x-1)=3$ значение $x=-3$ нарушает условие ( $x>1$ ), это посторонний корень.

💡Заметка

Не забывай об отрицательном показателе: дробный результат означает отрицательную степень, $3^x=\frac{1}{9}=3^{-2}\Rightarrow x=-2$ .

⚠️Внимание

В неравенстве с основанием $0<a<1$ знак неравенства меняется на противоположный: $\left(\frac{1}{2}\right)^x>\frac{1}{8}\iff x<3$ .

Правила

1При $a>0$ , $a\ne 1$ : $a^f=a^g\iff f=g$ (привести к одному основанию, приравнять показатели).
2При замене $t=a^x$ обязательно $t>0$ ; отрицательные и нулевые значения $t$ отбрасывать.
3В логарифмическом уравнении сначала записать область определения: каждое подлогарифмическое выражение должно быть $>0$ .
4Найденные корни проверять на область определения; не удовлетворяющий условию отбросить как посторонний.
5 $\log_a f=\log_a g\iff f=g$ (при условии $f>0$ , $g>0$ ).
6 $\log_a x=b\iff x=a^b$ .
7В неравенстве при $a>1$ знак сохраняется, при $0<a<1$ — меняется на противоположный.

Тренировка

15 лёгких · 15 средних · 15 сложных

В каждом тесте — 10 случайных вопросов

Лёгкий Средний Сложный Микс