Неравенства и системы

Линейное неравенство. При решении неравенства вида $ax+b>0$ переносим неизвестное в одну сторону. ВНИМАНИЕ: при умножении или делении обеих частей неравенства на ОТРИЦАТЕЛЬНОЕ число знак меняется на противоположный ($>\leftrightarrow <$, $\ge\leftrightarrow\le$). Например, $-2x>6$ → $x<-3$. Ответ записывается в виде промежутка: $x>3\iff x\in(3;\,+\infty)$, $x\le 2\iff x\in(-\infty;\,2]$.

Квадратное неравенство и метод интервалов. Для решения неравенства $ax^2+bx+c>0$ сначала находим корни (нули) уравнения $ax^2+bx+c=0$. Если корни $x_1<x_2$, парабола пересекает числовую ось в этих точках. При $a>0$ (ветви вверх) выражение положительно ВНЕ корней и отрицательно МЕЖДУ ними: $ax^2+bx+c>0\iff x\in(-\infty;\,x_1)\cup(x_2;\,+\infty)$; $ax^2+bx+c<0\iff x\in(x_1;\,x_2)$. Знак можно проверить, подставив пробную точку из каждого промежутка. Если неравенство нестрогое ($\ge$, $\le$), корни ВКЛЮЧАЮТСЯ в ответ (квадратная скобка); если строгое ($>$, $<$), НЕ ВКЛЮЧАЮТСЯ (круглая скобка).

Дробно-рациональное неравенство. В неравенстве вида $\dfrac{P(x)}{Q(x)}>0$ (или $<0$) отмечаем на числовой оси нули и числителя, и знаменателя и применяем метод интервалов. ГЛАВНОЕ: точка, обращающая знаменатель в ноль, НИКОГДА не включается в ответ (там выражение не определено) — даже при нестрогом неравенстве эта точка остаётся открытой.

Неравенство с модулем. $|x|<a$ ($a>0$) $\iff -a<x<a$, т.е. $x\in(-a;\,a)$. $|x|>a$ ($a>0$) $\iff x<-a$ или $x>a$, т.е. $x\in(-\infty;\,-a)\cup(a;\,+\infty)$. В общем случае: $|f(x)|<a\iff -a<f(x)<a$.

Системы с двумя переменными. Линейную систему решаем методом подстановки или сложения; ответ записывается в виде пары $(x;\,y)$. В нелинейной системе (например, одно уравнение линейное, другое — окружность или гипербола) выражаем одну переменную через другую, подставляем, решаем полученное квадратное уравнение и для каждого корня находим соответствующую пару $(x;\,y)$.