Сколько решений имеет уравнение |x| = 0?

бесконечно много

g11m-2.5· Глава 2: Уравнения и неравенства· ~14 мин

Уравнения и неравенства с модулем (абсолютной величиной)

Уравнения вида $|x|=a$ , $|f(x)|=g(x)$ ; неравенства вида $|x|<a$ , $|x|>a$ и метод разбиения на случаи.

Абсолютная величина числа — это его расстояние от нуля на числовой оси: $|a|=a$ ( $a\ge 0$ ), $|a|=-a$ ( $a<0$ ); поэтому $|a|\ge 0$ всегда верно. Уравнение $|x|=a$ при $a>0$ имеет два решения ( $x=a$ и $x=-a$ ), при $a=0$ — одно решение ( $x=0$ ), при $a<0$ — решений нет.

Неравенство $|x|<a$ ( $a>0$ ) приводит к промежутку $-a<x<a$ , а $|x|>a$ ( $a>0$ ) — к объединению $x<-a$ или $x>a$ . В более сложных случаях числовую ось разбивают на области по знаку подмодульного выражения, в каждой области избавляются от модуля, затем проверяют найденные корни в исходном уравнении.

📌Пример

Например: в уравнении $|2x-6|=4$ получаем $2x-6=4$ или $2x-6=-4$ , откуда $x=5$ или $x=1$ .

Ключевые термины

Абсолютная величина (модуль) — Расстояние числа от нуля на числовой оси:

|a|=a

(

a\ge 0

|a|=-a

(

a<0

). Поэтому

|a|\ge 0

всегда верно.

Уравнение

|x|=a

— При

a>0

имеет два решения (

x=\pm a

), при

a=0

— одно решение (

x=0

), при

a<0

— решений нет.

Неравенство с внутренним промежутком — Неравенство

|x|<a

(

a>0

) приводит к промежутку

-a<x<a

; концы включаются при

\le

Неравенство с внешней областью — Неравенство

|x|>a

(

a>0

) приводит к объединению

x<-a

или

x>a

Посторонний корень — Формальный корень уравнения вида

|f(x)|=g(x)

, при котором правая часть отрицательна или нарушается исходное условие, поэтому он отбрасывается.

Разбиение на области — Разделение числовой оси на части по знаку подмодульного выражения, избавление от модуля в каждой части и проверка корней в исходном уравнении.

Основные случаи уравнений и неравенств с модулем

Выражение	Условие	Решение
$\|x\|=a$	$a>0$	$x=a$ или $x=-a$
$\|x\|=a$	$a=0$	$x=0$ (одно решение)
$\|x\|=a$	$a<0$	решений нет
$\|x\|<a$	$a>0$	$-a<x<a$
$\|x\|>a$	$a>0$	$x<-a$ или $x>a$

При $\le$ и $\ge$ концы промежутка включаются.

Раскрытие модуля по знаку подмодульного выражения

Случай	Условие	Раскрытие $\|f(x)\|$
Положительная часть	$f(x)\ge 0$	$\|f(x)\|=f(x)$
Отрицательная часть	$f(x)<0$	$\|f(x)\|=-f(x)$

Пример: в уравнении $|2x-6|=4$ получаем $2x-6=4$ или $2x-6=-4$ , откуда $x=5$ или $x=1$ .

✎Решить уравнение

|3x+1|=7

1Составить два случая: Так как $|f(x)|=7$ ( $7>0$ ), то $3x+1=7$ или $3x+1=-7$ .
2Первый случай: $3x+1=7\Rightarrow 3x=6\Rightarrow x=2$ .
3Второй случай: $3x+1=-7\Rightarrow 3x=-8\Rightarrow x=-\frac{8}{3}$ .
4Ответ: $x=2$ или $x=-\frac{8}{3}$ .

✎Решить уравнение

|x+4|=3x-2

(проверить корни)

1Условие на правую часть: Так как модуль неотрицателен, $3x-2\ge 0$ , то есть $x\ge \frac{2}{3}$ .
2Составить два случая: $x+4=3x-2$ или $x+4=-(3x-2)$ .
3Первый случай: $x+4=3x-2\Rightarrow 6=2x\Rightarrow x=3$ (условие $x\ge\frac{2}{3}$ выполнено).
4Второй случай: $x+4=-3x+2\Rightarrow 4x=-2\Rightarrow x=-\frac{1}{2}$ ; это делает правую часть отрицательной, посторонний корень.
5Проверка: $x=3$ : $|3+4|=7=3\cdot 3-2$ . Верно.
6Ответ: $x=3$ .

🚫Частая ошибка

В уравнении вида $|2x|=10$ не забудь разделить на $2$ : $2x=\pm 10\Rightarrow x=\pm 5$ , а не $x=\pm 10$ .

⚠️Внимание

В уравнениях вида $|f(x)|=g(x)$ проверяй каждый корень в исходном уравнении; корень, при котором правая часть отрицательна, является посторонним и отбрасывается.

⚠️Внимание

$|x|<a$ — внутренний промежуток ( $-a<x<a$ ), $|x|>a$ — внешняя область ( $x<-a$ или $x>a$ ) — не путай эти два случая.

💡Заметка

$|a|\ge 0$ всегда верно; при $a=0$ получаем $|a|=0$ , поэтому $|a|>0$ НЕ верно всегда.

💡Заметка

Неравенство $|x-a|<r$ задаёт промежуток с центром $a$ и радиусом $r$ ; центр — это середина концов, например для $3<x<7$ : $a=\frac{3+7}{2}=5$ .

Правила

1Определение: $|a|=a$ ( $a\ge 0$ ), $|a|=-a$ ( $a<0$ ); всегда $|a|\ge 0$ .
2 $|x|=a$ : $a>0\to x=\pm a$ ; $a=0\to x=0$ ; $a<0\to$ решений нет.
3 $|f(x)|=b$ ( $b\ge 0$ ): решить случаи $f(x)=b$ и $f(x)=-b$ .
4 $|x|<a$ ( $a>0$ ) $\to -a<x<a$ ; $|x|>a$ ( $a>0$ ) $\to x<-a$ или $x>a$ .
5Разбей на области по знаку подмодульного выражения, каждый корень проверь в исходном уравнении.

Тренировка

15 лёгких · 15 средних · 15 сложных

В каждом тесте — 10 случайных вопросов

Лёгкий Средний Сложный Микс