g11m-2.6· Глава 2: Уравнения и неравенства· ~14 мин

Квадратные уравнения с параметром и анализ знаков

Условия на корни по знаку дискриминанта, знаки корней и нахождение параметра с помощью теоремы Виета.

Квадратное уравнение с параметром $ax^2+bx+c=0$ — это уравнение, в котором хотя бы один из коэффициентов зависит от параметра (например, $m$ ). Количество корней определяется дискриминантом: $D>0$ — два различных корня, $D=0$ — один (двойной) корень, $D<0$ — вещественных корней нет; поэтому условие чаще всего сводится к неравенству относительно параметра через $D$ .

Условие, что $a$ является коэффициентом и не равно нулю ( $a\ne 0$ ), необходимо проверять отдельно — иначе уравнение становится линейным. Знак корней определяется теоремой Виета: знак произведения $x_1\cdot x_2=\dfrac{c}{a}$ показывает, одинаковы или различны знаки корней, а сумма $x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}$ указывает на преобладающий знак.

📌Пример

Например: чтобы уравнение $x^2-6x+m=0$ имело один (двойной) корень, необходимо $D=36-4m=0$ , откуда $m=9$ .

Ключевые термины

Квадратное уравнение с параметром — Уравнение

ax^2+bx+c=0

, в котором хотя бы один из коэффициентов зависит от параметра (например,

m

Дискриминант — Выражение

D=b^2-4ac

; управляет количеством корней.

Один (двойной) корень — Единственный корень, получаемый при

D=0

; означает два равных корня уравнения.

Теорема Виета — Сумма корней

x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}

, произведение

x_1\cdot x_2=\dfrac{c}{a}

Знак корней — Произведение

x_1\cdot x_2>0

— корни одного знака;

x_1\cdot x_2<0

— корни разных знаков.

Условие на старший коэффициент — Необходимо

a\ne 0

; при

a=0

уравнение превращается в линейное.

Знак дискриминанта и количество корней

Условие на $D$	Количество корней	Типичное условие на параметр
$D>0$	Два различных вещественных корня	$x^2-4x+m=0 \to m<4$
$D=0$	Один (двойной) корень	$x^2-6x+m=0 \to m=9$
$D<0$	Вещественных корней нет	$x^2+2x+m=0 \to m>1$

Количество корней определяется знаком выражения $D=b^2-4ac$ .

Знак корней с помощью теоремы Виета

Условие	Формула	Вывод
Сумма корней	$x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}$	Показывает преобладающий знак
Произведение корней	$x_1\cdot x_2=\dfrac{c}{a}$	Показывает одинаковый/разный знак
Одного знака	$x_1\cdot x_2>0$	Знак суммы совпадает со знаком корней
Разных знаков	$x_1\cdot x_2<0$	$x^2+4x+m=0 \to m<0$

Знак корней можно определить с помощью теоремы Виета, не вычисляя сами корни.

✎Условие одного (двойного) корня:

D=0

1Уравнение: Найти $m$ , при котором уравнение $x^2-6x+m=0$ имеет один (двойной) корень.
2Дискриминант: $D=b^2-4ac=(-6)^2-4\cdot 1\cdot m=36-4m$ .
3Условие: Для одного двойного корня $D=0$ : $\;36-4m=0$ .
4Решение: $4m=36 \Rightarrow m=9$ .
5Ответ: $m=9$ .

✎Условие

x_1^2+x_2^2

с помощью теоремы Виета

1Уравнение: $x^2-6x+m=0$ , корни $x_1,x_2$ . Найти $m$ , если $x_1^2+x_2^2=20$ .
2Виет: $x_1+x_2=6$ , $\;x_1\cdot x_2=m$ .
3Тождество: $x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=36-2m$ .
4Составить уравнение: $36-2m=20$ .
5Решение: $2m=16 \Rightarrow m=8$ .
6Ответ: $m=8$ .

⚠️Внимание

Сначала проверь условие $a\ne 0$ . Например, для $(m-3)x^2+2x+1=0$ один корень может быть получен как при $m=3$ (линейный случай), так и при $D=0$ — нужно учесть оба случая.

🚫Частая ошибка

Для $x^2-6x+m=0$ выбрать $m=6$ — ошибка: $6$ — это лишь значение коэффициента $b$ , а не $m$ . Правильный путь — решение $D=0$ : $36-4m=0 \to m=9$ .

🚫Частая ошибка

Следи за знаком в дискриминанте: $D=b^2-4ac$ , то есть $-4ac$ . Для $x^2-5x+m=0$ получается $D=25-4m$ , а не $25+4m$ .

💡Заметка

Чтобы оба корня были положительными, необходимо выполнение трёх условий одновременно: $D\ge 0$ , сумма $>0$ и произведение $>0$ . Например, для $x^2-6x+m=0$ : $0<m<9$ .

⚠️Внимание

В уравнении с положительным свободным членом, например $x^2+mx+1=0$ , произведение $\frac{c}{a}=1>0$ постоянно; никакое $m$ не сделает знаки корней противоположными.

Правила

1Сначала проверь условие $a\ne 0$ ; при $a=0$ уравнение становится линейным.
2Количество корней определяется дискриминантом: $D>0$ — два корня, $D=0$ — один корень, $D<0$ — корней нет.
3Условие одного (двойного) корня: $D=0$ ; для двух различных корней $D>0$ .
4Виет: произведение корней $x_1\cdot x_2=\dfrac{c}{a}$ , сумма $x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}$ .
5Корни одного знака $\iff x_1\cdot x_2>0$ ; разных знаков $\iff x_1\cdot x_2<0$ ; найденный параметр подставь в исходное условие.

Тренировка

15 лёгких · 15 средних · 15 сложных

В каждом тесте — 10 случайных вопросов

Лёгкий Средний Сложный Микс