g11m-3.1· Глава 3: Функции и последовательности· ~16 мин
Функции и графики
Область определения и область значений, чётная/нечётная функция, нули функции, линейная и квадратичная функция, преобразования графиков, обратная функция.
Функция — это правило, которое каждому значению x ставит в соответствие единственное значение y. Область определения (D(f)) — это все значения x, при которых функция имеет смысл; область значений (E(f)) — все получаемые значения y. Нули функции — это корни уравнения f(x)=0 (точки пересечения графика с осью Ox).
Если f(−x)=f(x), функция является чётной (график симметричен относительно оси Oy); если f(−x)=−f(x) — нечётной (график симметричен относительно начала координат). Линейная функция y=kx+b задаёт прямую линию. Квадратичная функция y=ax2+bx+c задаёт параболу; абсцисса вершины x0=−2ab, ось симметрии — прямая x=−2ab; при a>0 парабола открыта вверх (в вершине минимум), при a<0 — вниз (в вершине максимум).
Преобразования графиков: y=f(x−a) сдвигает график вправо на a единиц, y=f(x)+a — вверх на a единиц. Чтобы найти обратную функцию f−1(x), нужно из равенства y=f(x) выразить x через y, затем поменять местами x и y.
Графики
Графики функций y = x² (парабола), y = 2x − 1 (прямая) и y = |x|
Ключевые термины
Область определения D(f) — Все значения x, при которых функция имеет смысл. Подкоренное выражение ≥0, знаменатель дроби =0.
Область значений E(f) — Все значения y, которые принимает функция. Для параболы начинается с ординаты вершины.
Нули функции — Корни уравнения f(x)=0; точки пересечения графика с осью Ox.
Чётная функция — Функция, удовлетворяющая условию f(−x)=f(x); график симметричен относительно оси Oy.
Нечётная функция — Функция, удовлетворяющая условию f(−x)=−f(x); график симметричен относительно начала координат.
Обратная функция f−1(x) — Функция, получаемая из y=f(x) выражением x и заменой x↔y.
Основные формулы
Понятие
Формула
Абсцисса вершины параболы / ось симметрии
x0=−2ab
Область определения подкоренного выражения
выражение ≥0
Область определения дроби
знаменатель =0
Чётная функция
f(−x)=f(x)
Нечётная функция
f(−x)=−f(x)
Основные правила, применяемые при анализе функций.
Преобразования графиков
Преобразование
Формула
Направление
Горизонтальный сдвиг
y=f(x−a)
вправо на a единиц
Горизонтальный сдвиг
y=f(x+a)
влево на a единиц
Вертикальный сдвиг
y=f(x)+a
вверх на a единиц
Вертикальный сдвиг
y=f(x)−a
вниз на a единиц
Изменение внутри скобок даёт горизонтальный сдвиг, снаружи — вертикальный.
✎Ордината вершины параболы y=x2−6x+11
1Найти абсциссу вершины: x0=−2ab=−2⋅1−6=3.
2Вычислить ординату: y0=32−6⋅3+11=9−18+11=2.
3Ответ: Ордината вершины равна 2.
✎Значение f−1(7) для f(x)=2x+3
1Составить уравнение: Из равенства y=2x+3 выразить x.
2Найти x: 2x=y−3⇒x=2y−3, то есть f−1(x)=2x−3.
3Подставить значение: f−1(7)=27−3=24=2.
4Ответ: f−1(7)=2.
🚫Частая ошибка
Не забывай делить на 2a при нахождении абсциссы вершины: для y=3x2−12x+1 получается x0=−2⋅3−12=2, а не просто 312=4.
⚠️Внимание
Следи за знаком: в формуле x0=−2ab нельзя забывать знак минус. Для y=x2+8x+2 ось симметрии x=−4, а не x=4.
⚠️Внимание
В составной функции f(g(x)) сначала вычисляется внутренняя g, затем f. Значения f(g(3)) и g(f(3)) не равны.
💡Заметка
В область определения квадратного корня входит и граничное значение: из 2x−6≥0 получаем [3;+∞), а не (3;+∞).
💡Заметка
Для параболы с a<0 ордината вершины является наибольшим значением; для y=−x2+6x−5 максимум равен 4.
Правила
1Абсцисса вершины параболы и ось симметрии: x0=−2ab.
2Чётная функция: f(−x)=f(x) (симметрична относительно оси Oy); нечётная функция: f(−x)=−f(x) (симметрична относительно начала координат).
3Область определения для выражение: выражение ≥0; для дроби: знаменатель =0.
4y=f(x−a) → сдвиг вправо на a единиц; y=f(x)+a → сдвиг вверх на a единиц.
5Для обратной функции: из y=f(x) выразить x, затем поменять местами x↔y.
