g11m-3.2· Глава 3: Функции и последовательности· ~18 мин

Арифметическая и геометрическая прогрессии

Арифметическая прогрессия, геометрическая прогрессия, сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

В арифметической прогрессии каждый член получается прибавлением постоянной разности $d$ к предыдущему члену: $a_n = a_1 + (n-1)d$ . Сумма первых $n$ членов: $S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2} = \frac{n(2a_1 + (n-1)d)}{2}$ .

В геометрической прогрессии каждый член получается умножением предыдущего на постоянное знаменатель $q$ : $b_n = b_1 q^{n-1}$ . Сумма первых $n$ членов: $S_n = \frac{b_1(q^n-1)}{q-1}$ ( $q\ne 1$ ). Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии при $|q|<1$ вычисляется по формуле $S = \frac{b_1}{1-q}$ .

Средний член между двумя числами в арифметической прогрессии — это их среднее арифметическое $\frac{a+b}{2}$ , а в геометрической прогрессии — среднее геометрическое $\sqrt{a\cdot b}$ .

📌Пример

Например: при $a_1=4$ , $d=3$ получаем $a_8 = 4 + 7\cdot 3 = 25$ ; при $b_1=6$ , $q=0{,}5$ получаем $S = \frac{6}{1-0{,}5} = 12$ .

Ключевые термины

Арифметическая прогрессия — Последовательность, в которой каждый член получается прибавлением постоянной разности

d

к предыдущему:

a_n = a_1 + (n-1)d

Разность

d

— Разность двух соседних членов арифметической прогрессии:

d = a_{n+1} - a_n

. При

d>0

прогрессия возрастающая, при

d<0

— убывающая.

Геометрическая прогрессия — Последовательность, в которой каждый член получается умножением предыдущего на постоянный знаменатель

q

b_n = b_1 q^{n-1}

Знаменатель

q

— Отношение двух соседних членов геометрической прогрессии:

q = \frac{b_{n+1}}{b_n}

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия — Геометрическая прогрессия с

|q|<1

; сумма всех её членов конечна:

S = \frac{b_1}{1-q}

Средний член — Средний арифметический член:

b = \frac{a+c}{2}

; средний геометрический член:

b = \sqrt{a\cdot c}

(связь трёх соседних членов).

Формулы арифметической и геометрической прогрессий

Понятие	Арифметическая прогрессия	Геометрическая прогрессия
$n$ -й член	$a_n = a_1 + (n-1)d$	$b_n = b_1 q^{n-1}$
Сумма первых $n$ членов	$S_n = \frac{n(a_1+a_n)}{2}$	$S_n = \frac{b_1(q^n-1)}{q-1}$
Средний член	$b = \frac{a+c}{2}$	$b = \sqrt{a\cdot c}$
Бесконечная сумма	не существует	$S = \frac{b_1}{1-q}$ ( $\|q\|<1$ )

Для арифметической прогрессии также применяется формула $S_n = \frac{n(2a_1+(n-1)d)}{2}$ .

Типовая задача → ход решения

Дано	Найти	Шаг
$a_1$ , $d$	$a_n$	$a_n = a_1 + (n-1)d$
Два члена $a_m$ , $a_k$	$d$	$d = \frac{a_k - a_m}{k - m}$
$b_1$ , $q$	$S$ (бесконечная)	Проверь $\|q\|<1$ , $S = \frac{b_1}{1-q}$
$S$ , $q$	$b_1$	$b_1 = S(1-q)$

Обрати внимание: разность номеров членов равна $(n-1)$ , $(k-m)$ и т. д.

✎Нахождение суммы по двум членам арифметической прогрессии:

a_3=14

a_7=26

S_{10}=?

1Найди разность: $d = \frac{a_7 - a_3}{7 - 3} = \frac{26 - 14}{4} = 3$ .
2Найди первый член: $a_3 = a_1 + 2d \Rightarrow 14 = a_1 + 6 \Rightarrow a_1 = 8$ .
3Найди десятый член: $a_{10} = a_1 + 9d = 8 + 9\cdot 3 = 35$ .
4Вычисли сумму: $S_{10} = \frac{10(a_1+a_{10})}{2} = \frac{10(8+35)}{2} = \frac{430}{2} = 215$ .

✎Прыгающий мяч — бесконечно убывающая прогрессия: падает с высоты

24

м, каждый раз отскакивает на половину

1Путь при первом падении: Сначала падает $24$ м.
2Сумма подъёмов и падений: Подъёмы и падения образуют геометрическую прогрессию с $b_1 = 12$ , $q = 0{,}5$ ; каждый этап проходится дважды (подъём + падение).
3Вычисли бесконечную сумму: Сумма подъёмов $S = \frac{12}{1-0{,}5} = 24$ м; этот путь проходится и вверх, и вниз, то есть $2\cdot 24 = 48$ м.
4Полный путь: Вместе с первым падением: $24 + 48 = 72$ м.

🚫Частая ошибка

Для $a_5$ берётся множитель $(n-1)=4$ , а не $n=5$ : $a_5 = a_1 + 4d$ . Например, при $a_1=9$ , $d=-2$ получаем $a_5 = 9 + 4\cdot(-2) = 1$ , а не $9+5\cdot(-2)=-1$ .

⚠️Внимание

При нахождении $q$ по двум членам помни, что $b_3 = b_1 q^2$ : $b_5 = b_3 q^2$ , то есть $q^2 = \frac{b_5}{b_3}$ , а не сам $q$ . Не забудь извлечь квадратный корень.

💡Заметка

При отрицательном $q$ следи за знаком: при $q=-\frac{1}{3}$ знаменатель $1-q = 1+\frac{1}{3} = \frac{4}{3}$ , поэтому $S = \frac{9}{4/3} = 6{,}75$ .

💡Заметка

Проверка трёх последовательных членов: в арифметической прогрессии средний член равен $\frac{a+c}{2}$ , а в геометрической $b^2 = a\cdot c$ . Например, для $3;\ 6;\ 12$ : $6^2 = 36 = 3\cdot 12$ .

⚠️Внимание

Формула бесконечной суммы $S = \frac{b_1}{1-q}$ работает только при $|q|<1$ ; при $|q|\ge 1$ прогрессия не сходится.

Правила

1Арифметическая прогрессия: $a_n = a_1 + (n-1)d$ . $S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2} = \frac{n(2a_1 + (n-1)d)}{2}$ .
2Геометрическая прогрессия: $b_n = b_1 q^{n-1}$ . $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$ ( $q \ne 1$ ).
3Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия ( $|q| < 1$ ): $S = \frac{b_1}{1 - q}$ .
4Средний арифметический член: $b = \frac{a + c}{2}$ . Средний геометрический член: $b^2 = a\cdot c$ , то есть $b = \sqrt{a\cdot c}$ .
5Из двух условий составь систему и реши её для нахождения $a_1$ и $d$ (или $b_1$ и $q$ ).

Тренировка

15 лёгких · 15 средних · 15 сложных

В каждом тесте — 10 случайных вопросов

Лёгкий Средний Сложный Микс