g11m-3.3· Глава 3: Функции и последовательности· ~20 мин

Координатная плоскость и векторы

Расстояние между двумя точками, середина отрезка, уравнение прямой, векторы и скалярное произведение.

Расстояние между точками $A(x_1;\,y_1)$ и $B(x_2;\,y_2)$ на координатной плоскости находится по теореме Пифагора: $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$ . Координаты середины отрезка $AB$ равны среднему арифметическому координат его концов: $M\left(\frac{x_1+x_2}{2};\,\frac{y_1+y_2}{2}\right)$ .

Уравнение прямой имеет вид $y = kx + b$ , где $k$ — угловой коэффициент, который находится по двум точкам по формуле $k = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ . Если две прямые параллельны, их угловые коэффициенты равны ( $k_1 = k_2$ ); если перпендикулярны, то $k_1\cdot k_2 = -1$ .

Координаты вектора находятся как разность координат его конца и начала: $\vec{AB} = (x_2-x_1;\,y_2-y_1)$ . Длина вектора: $|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2}$ . Сумма и разность векторов вычисляются покоординатно; при умножении на число каждая координата умножается на это число. Скалярное произведение двух векторов: $\vec{a}\cdot\vec{b} = x_1 x_2 + y_1 y_2$ ; если векторы перпендикулярны, скалярное произведение равно нулю: $\vec{a}\cdot\vec{b} = 0$ .

Пример: для $A(1;\,2)$ и $B(4;\,6)$ : $d = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5$ .

Точки A(1; 2) и B(5; 6) на координатной плоскости; вектор AB и расстояние d

Ключевые термины

Расстояние между двумя точками — Для

A(x_1;\,y_1)

B(x_2;\,y_2)

d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}

— выводится из теоремы Пифагора.

Середина отрезка — Середина отрезка

AB

равна среднему арифметическому координат его концов:

M\left(\frac{x_1+x_2}{2};\,\frac{y_1+y_2}{2}\right)

Угловой коэффициент

k

— Коэффициент, показывающий наклон прямой

y = kx + b

; находится по двум точкам:

k = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}

Координаты вектора —

\vec{AB} = (x_2-x_1;\,y_2-y_1)

— разность координат конца и начала. Длина:

|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2}

Скалярное произведение —

\vec{a}\cdot\vec{b} = x_1 x_2 + y_1 y_2

— сумма произведений соответствующих координат (результат — число).

Условие перпендикулярности — Если два вектора перпендикулярны, то

\vec{a}\cdot\vec{b} = 0

; если две прямые перпендикулярны, то

k_1\cdot k_2 = -1

Основные формулы координатной плоскости

Понятие	Формула
Расстояние	$d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$
Середина отрезка	$M\left(\frac{x_1+x_2}{2};\,\frac{y_1+y_2}{2}\right)$
Угловой коэффициент	$k = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$
Координаты вектора	$\vec{AB} = (x_2-x_1;\,y_2-y_1)$
Длина вектора	$\|\vec{a}\| = \sqrt{x^2 + y^2}$
Скалярное произведение	$\vec{a}\cdot\vec{b} = x_1 x_2 + y_1 y_2$

Все формулы являются основными правилами раздела.

Взаимное расположение прямых и операции с векторами

Случай	Условие / Правило	Пример
Параллельные прямые	$k_1 = k_2$	$y = 3x-5 \parallel y = 3x+2$
Перпендикулярные прямые	$k_1\cdot k_2 = -1$	$y = 2x+3 \perp y = -\frac{x}{2}+4$
Перпендикулярные векторы	$\vec{a}\cdot\vec{b} = 0$	$(1;\,0)\cdot(0;\,7) = 0$
Сумма векторов	координаты складываются	$(2;\,5)+(3;\,1) = (5;\,6)$
Умножение на число	каждая координата умножается	$3\cdot(2;\,-1) = (6;\,-3)$

Каждая координата обрабатывается отдельно; следите за знаками.

✎Найти уравнение прямой через

A(1;\,3)

B(3;\,7)

1Найдите угловой коэффициент: $k = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} = \frac{7-3}{3-1} = \frac{4}{2} = 2$ .
2Подставьте в уравнение прямой: $y = kx + b$ , то есть $y = 2x + b$ . Подставим $A(1;\,3)$ : $3 = 2\cdot1 + b$ .
3Найдите $b$ : $3 = 2 + b \Rightarrow b = 1$ .
4Ответ: Уравнение прямой: $y = 2x + 1$ .

✎Перпендикулярность векторов:

\vec{a}(2;\,3)

\vec{b}(m;\,-4)

1Запишите условие: Если векторы перпендикулярны, их скалярное произведение равно нулю: $\vec{a}\cdot\vec{b} = 0$ .
2Составьте скалярное произведение: $\vec{a}\cdot\vec{b} = 2\cdot m + 3\cdot(-4) = 2m - 12$ .
3Решите уравнение: $2m - 12 = 0 \Rightarrow 2m = 12 \Rightarrow m = 6$ .
4Ответ: $m = 6$ .

🚫Частая ошибка

При вычислении скалярного произведения НЕЛЬЗЯ просто складывать все координаты: $\vec{a}(1;\,0)\cdot\vec{b}(0;\,7) = 1\cdot0 + 0\cdot7 = 0$ , а не $8$ . Сначала умножаются соответствующие координаты, затем результаты складываются.

⚠️Внимание

$\vec{AB}$ — это РАЗНОСТЬ координат конца и начала, а не сумма: для $A(2;\,3)$ , $B(5;\,9)$ : $\vec{AB} = (5-2;\,9-3) = (3;\,6)$ . Если перепутать порядок, получите $\vec{BA}$ .

⚠️Внимание

Формула расстояния работает через квадраты. Если $A(0;\,0)$ , $B(5;\,m)$ , $d=13$ , не вычитайте напрямую $13-5=8$ ; правильно: $m^2 = 169-25 = 144 \Rightarrow m = 12$ .

💡Заметка

У параллельных прямых $k_1 = k_2$ , у перпендикулярных $k_1\cdot k_2 = -1$ . Значит, перпендикулярный коэффициент — это отрицательная обратная величина: $k=2 \Rightarrow k_\perp = -\frac{1}{2}$ .

💡Заметка

При умножении на число сохраняйте знак: $3\cdot(2;\,-1) = (6;\,-3)$ , а не $(6;\,3)$ . Отрицательная координата остаётся отрицательной.

Правила

1Расстояние: $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$ .
2Середина отрезка: $M\left(\frac{x_1+x_2}{2};\,\frac{y_1+y_2}{2}\right)$ .
3Прямая: $y = kx + b$ , $k = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ . Параллельность: $k_1 = k_2$ . Перпендикулярность: $k_1\cdot k_2 = -1$ .
4Вектор: $\vec{AB} = (x_2-x_1;\,y_2-y_1)$ . Длина: $|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2}$ .
5Скалярное произведение: $\vec{a}\cdot\vec{b} = x_1 x_2 + y_1 y_2$ . Условие перпендикулярности: $\vec{a}\cdot\vec{b} = 0$ .

Тренировка

15 лёгких · 15 средних · 15 сложных

В каждом тесте — 10 случайных вопросов

Лёгкий Средний Сложный Микс

Координатная плоскость и векторы

Графики

Ключевые термины

Правила

Тренировка