g11m-4.1· Глава 4: Тригонометрия· ~18 мин

Тригонометрические выражения

Градусная и радианная мера, табличные значения, основное тождество, формулы приведения, формулы суммы/разности и двойного угла, упрощение выражений.

Градусная и радианная меры угла связаны формулой 180∘=π180^\circ=\pi: чтобы перейти к радианам, нужно умножить градусы на π180\frac{\pi}{180}, а чтобы перейти к градусам — умножить радианы на 180π\frac{180}{\pi}. Табличные значения: sin⁡0∘=0\sin 0^\circ=0, sin⁡30∘=12\sin 30^\circ=\frac{1}{2}, sin⁡45∘=22\sin 45^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2}, sin⁡60∘=32\sin 60^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}, sin⁡90∘=1\sin 90^\circ=1; cos⁡0∘=1\cos 0^\circ=1, cos⁡30∘=32\cos 30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}, cos⁡45∘=22\cos 45^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2}, cos⁡60∘=12\cos 60^\circ=\frac{1}{2}, cos⁡90∘=0\cos 90^\circ=0; tan⁡45∘=1\tan 45^\circ=1.

Основное тригонометрическое тождество: sin⁡2α+cos⁡2α=1\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1. Формулы приведения определяют знак и функцию по квадранту и симметрии: sin⁡(180∘−α)=sin⁡α\sin(180^\circ-\alpha)=\sin\alpha, cos⁡(180∘−α)=−cos⁡α\cos(180^\circ-\alpha)=-\cos\alpha, sin⁡(90∘+α)=cos⁡α\sin(90^\circ+\alpha)=\cos\alpha, cos⁡(90∘+α)=−sin⁡α\cos(90^\circ+\alpha)=-\sin\alpha, sin⁡(180∘+α)=−sin⁡α\sin(180^\circ+\alpha)=-\sin\alpha, cos⁡(360∘−α)=cos⁡α\cos(360^\circ-\alpha)=\cos\alpha.

Формулы суммы и разности: sin⁡(α±β)=sin⁡αcos⁡β±cos⁡αsin⁡β\sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta, cos⁡(α±β)=cos⁡αcos⁡β∓sin⁡αsin⁡β\cos(\alpha\pm\beta)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta. Формулы двойного угла: sin⁡2α=2sin⁡αcos⁡α\sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha, cos⁡2α=cos⁡2α−sin⁡2α=1−2sin⁡2α=2cos⁡2α−1\cos 2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=1-2\sin^2\alpha=2\cos^2\alpha-1. При упрощении выражений используются основное тождество и эти формулы.

Графики

Единичная окружность: точка P, соответствующая углу α, cos α (абсцисса) и sin α (ордината)
Единичная окружность: точка P, соответствующая углу α, cos α (абсцисса) и sin α (ордината)

Ключевые термины

Радиан — Единица измерения угла. 180∘=π180^\circ=\pi радиан; чтобы перевести градусы в радианы, умножают на π180\frac{\pi}{180}.
Основное тригонометрическое тождество — Для любого α\alpha выполняется соотношение sin⁡2α+cos⁡2α=1\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1.
Формулы приведения — Формулы, позволяющие выразить угол через 90∘90^\circ, 180∘180^\circ, 360∘360^\circ и определить функцию и знак по квадранту.
Формулы суммы и разности — Для суммы/разности двух углов: sin⁡(α±β)=sin⁡αcos⁡β±cos⁡αsin⁡β\sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta, cos⁡(α±β)=cos⁡αcos⁡β∓sin⁡αsin⁡β\cos(\alpha\pm\beta)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta.
Формулы двойного угла — sin⁡2α=2sin⁡αcos⁡α\sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha и cos⁡2α=cos⁡2α−sin⁡2α=1−2sin⁡2α=2cos⁡2α−1\cos 2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=1-2\sin^2\alpha=2\cos^2\alpha-1.
Котангенс — cot⁡α=cos⁡αsin⁡α\cot\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} (sin⁡α≠0\sin\alpha\ne 0); обратное отношение к тангенсу.
Табличные значения стандартных углов
Уголsin⁡\sincos⁡\costan⁡\tan
0∘0^\circ001100
30∘30^\circ12\frac{1}{2}32\frac{\sqrt{3}}{2}33\frac{\sqrt{3}}{3}
45∘45^\circ22\frac{\sqrt{2}}{2}22\frac{\sqrt{2}}{2}11
60∘60^\circ32\frac{\sqrt{3}}{2}12\frac{1}{2}3\sqrt{3}
90∘90^\circ1100−-

Основные значения; tan⁡45∘=1\tan 45^\circ=1, tan⁡90∘\tan 90^\circ не определён.

Знаки sin⁡\sin и cos⁡\cos по четвертям
ЧетвертьДиапазон угловsin⁡\sincos⁡\cos
I0∘0^\circ–90∘90^\circ++++
II90∘90^\circ–180∘180^\circ++−-
III180∘180^\circ–270∘270^\circ−-−-
IV270∘270^\circ–360∘360^\circ−-++

Например, в IV четверти sin⁡300∘=−32\sin 300^\circ=-\frac{\sqrt{3}}{2}, cos⁡330∘=32\cos 330^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}.

✎Нахождение sin⁡150∘\sin 150^\circ с помощью формулы приведения
  1. 1Разложим угол: 150∘=180∘−30∘150^\circ=180^\circ-30^\circ, то есть угол находится во II четверти.
  2. 2Формула приведения: sin⁡(180∘−α)=sin⁡α\sin(180^\circ-\alpha)=\sin\alpha, поэтому sin⁡150∘=sin⁡30∘\sin 150^\circ=\sin 30^\circ.
  3. 3Проверка знака: Во II четверти sin⁡>0\sin>0, значит результат положительный.
  4. 4Ответ: sin⁡150∘=12\sin 150^\circ=\frac{1}{2}.
✎Нахождение cos⁡2α\cos 2\alpha через двойной угол (sin⁡α=35\sin\alpha=\frac{3}{5}, α\alpha — острый)
  1. 1Выбор формулы: Так как дано только sin⁡α\sin\alpha, берём формулу cos⁡2α=1−2sin⁡2α\cos 2\alpha=1-2\sin^2\alpha.
  2. 2Возведение в квадрат: sin⁡2α=(35)2=925\sin^2\alpha=\left(\frac{3}{5}\right)^2=\frac{9}{25}.
  3. 3Вычисление: cos⁡2α=1−2⋅925=1−1825=725\cos 2\alpha=1-2\cdot\frac{9}{25}=1-\frac{18}{25}=\frac{7}{25}.
  4. 4Ответ: cos⁡2α=725\cos 2\alpha=\frac{7}{25}.
🚫Частая ошибка

Не забывайте коэффициент 22 в формуле двойного угла: sin⁡2α=2sin⁡αcos⁡α\sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha. Например, при sin⁡α=−45\sin\alpha=-\frac{4}{5}, cos⁡α=35\cos\alpha=\frac{3}{5} получаем 2⋅(−1225)=−24252\cdot\left(-\frac{12}{25}\right)=-\frac{24}{25}, а не просто −1225-\frac{12}{25}.

⚠️Внимание

После нахождения табличного значения обязательно проверяйте знак по четверти: sin⁡300∘=−32\sin 300^\circ=-\frac{\sqrt{3}}{2}, так как в IV четверти sin⁡\sin отрицателен.

💡Заметка

Замечайте, что cos⁡2θ−sin⁡2θ=cos⁡2θ\cos^2\theta-\sin^2\theta=\cos 2\theta: например, cos⁡215∘−sin⁡215∘=cos⁡30∘=32\cos^2 15^\circ-\sin^2 15^\circ=\cos 30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}.

💡Заметка

Быстрый приём 2sin⁡θcos⁡θ=sin⁡2θ2\sin\theta\cos\theta=\sin 2\theta: 2sin⁡15∘cos⁡15∘=sin⁡30∘=122\sin 15^\circ\cos 15^\circ=\sin 30^\circ=\frac{1}{2} (то есть 0,50{,}5).

⚠️Внимание

При упрощении используйте основное тождество: 1−cos⁡2α=sin⁡2α1-\cos^2\alpha=\sin^2\alpha, поэтому 1−cos⁡2αsin⁡α=sin⁡α\frac{1-\cos^2\alpha}{\sin\alpha}=\sin\alpha.

Правила

  1. 1Основное тождество: sin⁡2α+cos⁡2α=1\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1.
  2. 2180∘=π180^\circ=\pi; градус→радиан: ×π180\times\frac{\pi}{180}, радиан→градус: ×180π\times\frac{180}{\pi}.
  3. 3Приведение: sin⁡(180∘−α)=sin⁡α\sin(180^\circ-\alpha)=\sin\alpha, cos⁡(180∘−α)=−cos⁡α\cos(180^\circ-\alpha)=-\cos\alpha, cos⁡(360∘−α)=cos⁡α\cos(360^\circ-\alpha)=\cos\alpha, sin⁡(180∘+α)=−sin⁡α\sin(180^\circ+\alpha)=-\sin\alpha.
  4. 4Сумма/разность: sin⁡(α±β)=sin⁡αcos⁡β±cos⁡αsin⁡β\sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta; cos⁡(α±β)=cos⁡αcos⁡β∓sin⁡αsin⁡β\cos(\alpha\pm\beta)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta.
  5. 5Двойной угол: sin⁡2α=2sin⁡αcos⁡α\sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha; cos⁡2α=cos⁡2α−sin⁡2α=1−2sin⁡2α=2cos⁡2α−1\cos 2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=1-2\sin^2\alpha=2\cos^2\alpha-1.

Тренировка

15 лёгких · 15 средних · 15 сложных

В каждом тесте — 10 случайных вопросов

ЛёгкийСреднийСложныйМикс