Найдите общее решение уравнения sin x=1/2.

x=(-1)^npi/6+2pi n, n∈mathbbZ

g11m-4.2· Глава 4: Тригонометрия· ~20 мин

Тригонометрические уравнения

Простые тригонометрические уравнения, формулы общего решения, частные случаи, уравнения, сводимые к квадратным, количество корней на заданном промежутке.

Общее решение простых тригонометрических уравнений записывается следующими формулами. Уравнение $\cos x = a$ ( $|a| \le 1$ ): $x = \pm\arccos a + 2\pi n$ , $n\in\mathbb{Z}$ . Уравнение $\sin x = a$ ( $|a| \le 1$ ): $x = (-1)^n\arcsin a + \pi n$ , $n\in\mathbb{Z}$ . Уравнение $\tan x = a$ (любое $a$ ): $x = \arctan a + \pi n$ , $n\in\mathbb{Z}$ .

Внимание: периоды $\cos$ и $\tan$ различаются — $\sin$ и $\cos$ имеют основной период $2\pi$ , однако для $\sin$ формула записывается с $(-1)^n$ и $\pi n$ ; период $\tan$ равен $\pi n$ . Частные случаи нужно знать наизусть: $\sin x = 0 \Rightarrow x = \pi n$ ; $\sin x = 1 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$ ; $\sin x = -1 \Rightarrow x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$ ; $\cos x = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + \pi n$ ; $\cos x = 1 \Rightarrow x = 2\pi n$ ; $\cos x = -1 \Rightarrow x = \pi + 2\pi n$ .

Многие уравнения сводятся к квадратным с помощью замены: например, в уравнении $2\sin^2 x - 3\sin x + 1 = 0$ замена $t = \sin x$ даёт $2t^2 - 3t + 1 = 0$ ; замена $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$ позволяет выразить уравнение только через $\cos$ (или $\sin$ ). Найденные значения $t$ должны удовлетворять условию $-1 \le t \le 1$ . Чтобы найти количество корней на заданном промежутке, нужно подставить целые значения $n$ в общее решение и посчитать корни, попадающие в промежуток.

Графики функций y = sin x и y = cos x на промежутке [0, 2π]

Ключевые термины

Простое тригонометрическое уравнение — Уравнение вида

\sin x=a

\cos x=a

или

\tan x=a

, в котором неизвестное стоит в аргументе тригонометрической функции.

Общее решение — Формула, охватывающая все корни уравнения с параметром

n\in\mathbb{Z}

, например

x=\arctan a+\pi n

Период — Шаг повторения корней: для

\sin

\cos

—

2\pi

, однако в формуле решения

\tan x=a

записывается

\pi n

Частные случаи — Готовые корни наизусть, соответствующие значениям

0,\ 1,\ -1

для

\sin x

или

\cos x

, например

\cos x=0\Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+\pi n

Замена переменной (сведение к квадратному) — Замена

t=\sin x

или

t=\cos x

, превращающая уравнение в квадратное по

t

; проверяется условие

|t|\le 1

Количество корней на промежутке — Число, найденное подстановкой целых значений

n

в общее решение и подсчётом корней, попадающих в заданный промежуток.

Формулы общего решения простых уравнений

Уравнение	Условие	Общее решение
$\cos x=a$	$\|a\|\le 1$	$x=\pm\arccos a+2\pi n$
$\sin x=a$	$\|a\|\le 1$	$x=(-1)^n\arcsin a+\pi n$
$\tan x=a$	любое $a$	$x=\arctan a+\pi n$

Во всех случаях $n\in\mathbb{Z}$ . При $|a|>1$ для $\sin$ и $\cos$ корней нет.

Частные случаи (знать наизусть)

Уравнение	Общее решение
$\sin x=0$	$x=\pi n$
$\sin x=1$	$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n$
$\sin x=-1$	$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n$
$\cos x=0$	$x=\frac{\pi}{2}+\pi n$
$\cos x=1$	$x=2\pi n$
$\cos x=-1$	$x=\pi+2\pi n$

$n\in\mathbb{Z}$ . Случай $\tan x=0$ совпадает с $\sin x=0$ : $x=\pi n$ .

✎Общее решение уравнения

\cos x=-\frac{1}{2}

1Выбери формулу: Так как $\cos x=a$ , пишем формулу $x=\pm\arccos a+2\pi n$ .
2Найди основное значение: Для отрицательного значения $\arccos\left(-\frac{1}{2}\right)=\frac{2\pi}{3}$ .
3Подставь: $x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi n$ , $n\in\mathbb{Z}$ .
4Внимание: Знак $\pm$ и период $2\pi n$ относятся к косинусу; $\frac{\pi}{3}$ — это для $\cos x=\frac{1}{2}$ .

✎Полное решение уравнения

2\sin^2 x-3\sin x+1=0

1Замена: Пусть $t=\sin x$ : $2t^2-3t+1=0$ .
2Реши квадратное уравнение: Корни $t=1$ и $t=\frac{1}{2}$ ; оба удовлетворяют условию $|t|\le 1$ .
3 $\sin x=1$ : Частный случай: $x=\frac{\pi}{2}+2\pi n$ .
4 $\sin x=\frac{1}{2}$ : $x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n$ , так как $\arcsin\frac{1}{2}=\frac{\pi}{6}$ .
5Ответ: $x=\frac{\pi}{2}+2\pi n$ и $x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n$ , $n\in\mathbb{Z}$ .

🚫Частая ошибка

Не путай формулы для $\sin$ и $\cos$ : для синуса берётся знак $(-1)^n$ и период $\pi n$ , для косинуса — знак $\pm$ и период $2\pi n$ .

⚠️Внимание

Период уравнения $\tan x=a$ равен $\pi n$ , а не $2\pi n$ ; поэтому $\tan x=\sqrt{3}\Rightarrow x=\frac{\pi}{3}+\pi n$ .

⚠️Внимание

Если в аргументе стоит $2x$ , $3x$ или $\frac{x}{2}$ , период также меняется: из $\cos 3x=1$ получается $3x=2\pi n$ , то есть $x=\frac{2\pi n}{3}$ .

🚫Частая ошибка

Правильно выбирай основной угол для отрицательного значения: $\arccos\left(-\frac{1}{2}\right)=\frac{2\pi}{3}$ , а не $\frac{\pi}{3}$ .

💡Заметка

После замены проверяй каждый корень $t$ по условию $|t|\le 1$ : например, $t=\frac{3}{2}$ не подходит и отбрасывается.

Правила

1 $\cos x = a$ ( $|a| \le 1$ ): $x = \pm\arccos a + 2\pi n$ , $n\in\mathbb{Z}$ . $\cos x = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + \pi n$ ; $\cos x = 1 \Rightarrow x = 2\pi n$ ; $\cos x = -1 \Rightarrow x = \pi + 2\pi n$ .
2 $\sin x = a$ ( $|a| \le 1$ ): $x = (-1)^n\arcsin a + \pi n$ , $n\in\mathbb{Z}$ . $\sin x = 0 \Rightarrow x = \pi n$ ; $\sin x = 1 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$ ; $\sin x = -1 \Rightarrow x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$ .
3 $\tan x = a$ : $x = \arctan a + \pi n$ , $n\in\mathbb{Z}$ (период $\pi n$ , а не $2\pi n$ ).
4Сведение к квадратному: сделай замену $t = \sin x$ (или $\cos x$ ), используй $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$ ; проверь условие $|t| \le 1$ для каждого найденного $t$ .
5Количество корней на промежутке: подставляй целые значения $n$ в общее решение и считай корни, попадающие в заданный промежуток.

Тренировка

15 лёгких · 15 средних · 15 сложных

В каждом тесте — 10 случайных вопросов

Лёгкий Средний Сложный Микс

Тригонометрические уравнения

Графики

Ключевые термины

Правила

Тренировка