g11m-5.1· Глава 5: Геометрия, измерения и статистика· ~22 мин

Треугольники

Теорема Пифагора, площадь треугольника, теоремы синусов и косинусов, подобие, метрические соотношения.

В прямоугольном треугольнике для катетов aa, bb и гипотенузы cc справедлива теорема Пифагора: a2+b2=c2a^2 + b^2 = c^2. Площадь треугольника можно найти несколькими формулами: для основания aa и проведённой к нему высоты hh — S=12ahS = \frac{1}{2}ah; для двух сторон и угла между ними — S=12absin⁡CS = \frac{1}{2}ab\sin C; если известны все три стороны — формула Герона S=p(p−a)(p−b)(p−c)S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}, где p=a+b+c2p = \frac{a+b+c}{2} — полупериметр.

Для любого треугольника теорема синусов: asin⁡A=bsin⁡B=csin⁡C=2R\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R (RR — радиус описанной окружности), теорема косинусов: c2=a2+b2−2abcos⁡Cc^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C. В подобных треугольниках соответствующие стороны пропорциональны (коэффициент подобия kk), а отношение площадей равно квадрату коэффициента: S1S2=k2\frac{S_1}{S_2} = k^2.

В прямоугольном треугольнике для высоты hh, проведённой к гипотенузе, справедливы метрические соотношения: h2=m⋅nh^2 = m\cdot n (среднее геометрическое проекций), катет2=гипотенуза⋅своя проекция\text{катет}^2 = \text{гипотенуза}\cdot\text{своя проекция}, h=катет⋅катетгипотенузаh = \frac{\text{катет}\cdot\text{катет}}{\text{гипотенуза}}. Медианы треугольника пересекаются в центроиде и делятся им в отношении 2:12:1 от вершины.

Ключевые термины

Теорема Пифагора — В прямоугольном треугольнике для катетов aa, bb и гипотенузы cc: a2+b2=c2a^2 + b^2 = c^2.
Формула Герона — Площадь треугольника с известными тремя сторонами: S=p(p−a)(p−b)(p−c)S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}, где p=a+b+c2p = \frac{a+b+c}{2} — полупериметр.
Теорема синусов — Для любого треугольника: asin⁡A=bsin⁡B=csin⁡C=2R\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R (RR — радиус описанной окружности).
Теорема косинусов — Для любого треугольника: c2=a2+b2−2abcos⁡Cc^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C; позволяет найти третью сторону по двум сторонам и углу между ними.
Коэффициент подобия kk — В подобных треугольниках соответствующие стороны пропорциональны; отношение площадей: S1S2=k2\frac{S_1}{S_2} = k^2.
Высота к гипотенузе — Метрические соотношения: h2=m⋅nh^2 = m\cdot n (среднее геометрическое проекций), h=abch = \frac{ab}{c} (aa, bb — катеты).
Основные формулы для треугольника
ЗадачаФормула
Теорема Пифагораa2+b2=c2a^2 + b^2 = c^2
Площадь (основание и высота)S=12ahS = \frac{1}{2}ah
Площадь (две стороны и угол)S=12absin⁡CS = \frac{1}{2}ab\sin C
Площадь (Герон)S=p(p−a)(p−b)(p−c)S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}
Теорема синусовasin⁡A=bsin⁡B=csin⁡C=2R\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R
Теорема косинусовc2=a2+b2−2abcos⁡Cc^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C

Основные формулы, применяемые при решении задач на треугольники.

Вид треугольника (cc — наибольшая сторона)
УсловиеВид треугольника
c2=a2+b2c^2 = a^2 + b^2Прямоугольный
c2<a2+b2c^2 < a^2 + b^2Остроугольный
c2>a2+b2c^2 > a^2 + b^2Тупоугольный

Вид треугольника определяется сравнением квадрата наибольшей стороны с суммой квадратов двух других сторон.

✎Площадь по формуле Герона (1313, 1414, 1515)
  1. 1Найди полупериметр: p=13+14+152=422=21p = \frac{13+14+15}{2} = \frac{42}{2} = 21
  2. 2Вычисли каждую разность (p−сторона)(p-\text{сторона}): p−a=21−13=8p-a = 21-13 = 8, p−b=21−14=7p-b = 21-14 = 7, p−c=21−15=6p-c = 21-15 = 6
  3. 3Подставь в формулу Герона: S=21⋅8⋅7⋅6=7056S = \sqrt{21\cdot 8\cdot 7\cdot 6} = \sqrt{7056}
  4. 4Вычисли корень: S=7056=84S = \sqrt{7056} = 84
✎Нахождение стороны по теореме косинусов (b=8b = 8, c=3c = 3, ∠A=60∘\angle A = 60^\circ)
  1. 1Запиши формулу: a2=b2+c2−2bccos⁡Aa^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A
  2. 2Подставь значения: a2=82+32−2⋅8⋅3⋅cos⁡60∘a^2 = 8^2 + 3^2 - 2\cdot 8\cdot 3\cdot\cos 60^\circ
  3. 3Вычисли, используя cos⁡60∘=12\cos 60^\circ = \frac{1}{2}: a2=64+9−48⋅12=73−24=49a^2 = 64 + 9 - 48\cdot\frac{1}{2} = 73 - 24 = 49
  4. 4Извлеки корень: a=49=7a = \sqrt{49} = 7
⚠️Внимание

В формуле S=12absin⁡CS = \frac{1}{2}ab\sin C не забудь умножить на sin⁡C\sin C и сохрани коэффициент 12\frac{1}{2}; например, для 88, 55, 45∘45^\circ: S=12⋅8⋅5⋅22=102S = \frac{1}{2}\cdot 8\cdot 5\cdot\frac{\sqrt{2}}{2} = 10\sqrt{2}.

🚫Частая ошибка

В теореме косинусов следи за знаком: так как cos⁡60∘=+0,5\cos 60^\circ = +0,5, слагаемое −2abcos⁡C-2ab\cos C отрицательно. При a=5a=5, b=7b=7, C=60∘C=60^\circ получаем c2=25+49−35=39c^2 = 25+49-35 = 39, а не 74+3574+35.

💡Заметка

В прямоугольном треугольнике радиус описанной окружности равен половине гипотенузы (R=c2R = \frac{c}{2}), так как гипотенуза является диаметром.

💡Заметка

Катет, лежащий против угла 30∘30^\circ, равен половине гипотенузы; следовательно, гипотенуза вдвое длиннее этого катета.

⚠️Внимание

Сторона треугольника должна быть строго между разностью и суммой двух других сторон; при сторонах 44 и 99 третья сторона находится между 55 и 1313, равной 1313 быть не может.

Правила

  1. 1Теорема Пифагора: a2+b2=c2a^2 + b^2 = c^2 (cc — гипотенуза).
  2. 2Площадь: S=12ah=12absin⁡C=p(p−a)(p−b)(p−c)S = \frac{1}{2}ah = \frac{1}{2}ab\sin C = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}, p=a+b+c2p = \frac{a+b+c}{2}.
  3. 3Теорема синусов: asin⁡A=bsin⁡B=csin⁡C=2R\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R.
  4. 4Теорема косинусов: c2=a2+b2−2abcos⁡Cc^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C.
  5. 5Подобие: соответствующие стороны пропорциональны (коэффициент kk), отношение площадей S1S2=k2\frac{S_1}{S_2} = k^2.
  6. 6Высота в прямоугольном треугольнике: h2=m⋅nh^2 = m\cdot n, катет2=c⋅(своя проекция)\text{катет}^2 = c\cdot(\text{своя проекция}), h=abch = \frac{ab}{c}.

Тренировка

15 лёгких · 15 средних · 15 сложных

В каждом тесте — 10 случайных вопросов

ЛёгкийСреднийСложныйМикс