g11m-5.2· Глава 5: Геометрия, измерения и статистика· ~20 мин

Окружность, круг и четырёхугольники

Длина окружности, площадь круга, дуга и сектор, центральные и вписанные углы, площадь и периметр четырёхугольников.

Длина окружности радиуса rr: C=2πrC = 2\pi r, площадь круга: S=πr2S = \pi r^2 (при диаметре d=2rd = 2r — C=πdC = \pi d). Длина дуги, соответствующей центральному углу θ∘\theta^\circ: l=θ360⋅2πrl = \frac{\theta}{360}\cdot 2\pi r; площадь сектора с тем же углом θ∘\theta^\circ: Ssek=θ360⋅πr2S_{sek} = \frac{\theta}{360}\cdot \pi r^2.

Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается; вписанный угол, опирающийся на ту же дугу, равен половине центрального (β=θ2\beta = \frac{\theta}{2}). Вписанный угол, опирающийся на диаметр, всегда равен 90∘90^\circ (теорема Фалеса).

Площади четырёхугольников: прямоугольник S=a⋅bS = a\cdot b, квадрат S=a2S = a^2, параллелограмм S=a⋅hS = a\cdot h (aa — основание, hh — высота, опущенная на него), ромб S=d1⋅d22S = \frac{d_1\cdot d_2}{2} (половина произведения диагоналей), трапеция S=a+b2⋅hS = \frac{a + b}{2}\cdot h (aa и bb — параллельные стороны). Диагональ прямоугольника, вписанного в окружность, равна диаметру окружности; радиус вписанной в квадрат окружности равен половине стороны, а радиус описанной около квадрата окружности равен половине диагонали.

Графики

Центральный угол (2β) и опирающийся на ту же дугу вписанный угол (β): вписанный угол равен половине центрального
Центральный угол (2β) и опирающийся на ту же дугу вписанный угол (β): вписанный угол равен половине центрального

Ключевые термины

Длина окружности — Длина окружности радиуса rr: C=2πr=πdC = 2\pi r = \pi d, где d=2rd = 2r — диаметр.
Площадь круга — Площадь круга радиуса rr: S=πr2S = \pi r^2.
Дуга и сектор — Длина дуги при центральном угле θ∘\theta^\circ: l=θ360⋅2πrl = \frac{\theta}{360}\cdot 2\pi r; площадь сектора: Ssek=θ360⋅πr2S_{sek} = \frac{\theta}{360}\cdot \pi r^2.
Центральный угол — Угол с вершиной в центре окружности; равен градусной мере дуги, на которую опирается.
Вписанный угол — Угол с вершиной на окружности; равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу (β=θ2\beta = \frac{\theta}{2}).
Кольцо — Фигура между двумя концентрическими окружностями; площадь π(R2−r2)\pi(R^2 - r^2) (RR — большой, rr — малый радиус).
Формулы площадей четырёхугольников
ФигураПлощадьПериметр
ПрямоугольникS=a⋅bS = a\cdot bP=2(a+b)P = 2(a + b)
КвадратS=a2S = a^2P=4aP = 4a
ПараллелограммS=a⋅hS = a\cdot h—
РомбS=d1⋅d22S = \frac{d_1\cdot d_2}{2}—
ТрапецияS=a+b2⋅hS = \frac{a + b}{2}\cdot h—

aa, bb — стороны; hh — высота; d1d_1, d2d_2 — диагонали.

Соотношения окружности и вписанных четырёхугольников
СлучайСоотношение
Прямоугольник, вписанный в окружностьдиагональ == диаметр
Окружность, вписанная в квадратr=r = половина стороны
Окружность, описанная около квадратаr=r = половина диагонали
Вписанный угол, опирающийся на диаметр90∘90^\circ (теорема Фалеса)

Основные соотношения вписанных и описанных четырёхугольников.

✎Площадь сектора
  1. 1Дано: В круге радиуса r=6r = 6 нужно найти площадь сектора, соответствующего центральному углу θ=120∘\theta = 120^\circ.
  2. 2Формула: Ssek=θ360⋅πr2S_{sek} = \frac{\theta}{360}\cdot \pi r^2.
  3. 3Вычислим дробь: θ360=120360=13\frac{\theta}{360} = \frac{120}{360} = \frac{1}{3}.
  4. 4Подставляем: Ssek=13⋅π⋅62=13⋅36πS_{sek} = \frac{1}{3}\cdot \pi \cdot 6^2 = \frac{1}{3}\cdot 36\pi.
  5. 5Ответ: Ssek=12πS_{sek} = 12\pi.
✎Радиус описанной окружности прямоугольника
  1. 1Дано: Стороны прямоугольника 55 см и 1212 см; вершины лежат на окружности. Найти радиус окружности.
  2. 2Ключевой факт: Диагональ прямоугольника, вписанного в окружность, равна диаметру окружности.
  3. 3Находим диагональ (теорема Пифагора): d=52+122=25+144=169=13d = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 см.
  4. 4Находим радиус: r=d2=132r = \frac{d}{2} = \frac{13}{2}.
  5. 5Ответ: r=6,5r = 6{,}5 см.
🚫Частая ошибка

Вписанный угол не умножается на центральный, а делится на два: β=θ2\beta = \frac{\theta}{2}. Например, при θ=100∘\theta = 100^\circ вписанный угол равен 50∘50^\circ, а не 200∘200^\circ.

⚠️Внимание

Не путайте формулы C=2πrC = 2\pi r (длина) и S=πr2S = \pi r^2 (площадь): при r=7r = 7 длина равна 14π14\pi, а площадь — 49π49\pi.

⚠️Внимание

Если дан диаметр, сначала найдите r=d2r = \frac{d}{2}, затем подставляйте в формулу: при d=10d = 10 площадь круга равна π⋅52=25π\pi\cdot 5^2 = 25\pi, а не 100π100\pi.

💡Заметка

Вписанный угол, опирающийся на диаметр, всегда равен 90∘90^\circ (теорема Фалеса) — любая вершина на полуокружности даёт прямой угол.

💡Заметка

Периметр сектора состоит из двух радиусов и дуги: P=2r+lP = 2r + l. При r=6r = 6, 90∘90^\circ: P=12+3πP = 12 + 3\pi.

Правила

  1. 1Длина окружности: C=2πr=πdC = 2\pi r = \pi d. Площадь круга: S=πr2S = \pi r^2.
  2. 2Длина дуги: l=θ360⋅2πrl = \frac{\theta}{360}\cdot 2\pi r. Площадь сектора: Ssek=θ360⋅πr2S_{sek} = \frac{\theta}{360}\cdot \pi r^2.
  3. 3Центральный угол = градусная мера дуги; вписанный угол = половина центрального (β=θ2\beta = \frac{\theta}{2}). Вписанный угол, опирающийся на диаметр = 90∘90^\circ.
  4. 4Прямоугольник: S=a⋅bS = a\cdot b, P=2(a+b)P = 2(a + b). Квадрат: S=a2S = a^2, P=4aP = 4a. Параллелограмм: S=a⋅hS = a\cdot h. Ромб: S=d1⋅d22S = \frac{d_1\cdot d_2}{2}.
  5. 5Трапеция: S=a+b2⋅hS = \frac{a + b}{2}\cdot h. Диагональ вписанного прямоугольника = диаметр; площадь кольца = π(R2−r2)\pi(R^2 - r^2).

Тренировка

15 лёгких · 15 средних · 15 сложных

В каждом тесте — 10 случайных вопросов

ЛёгкийСреднийСложныйМикс