Сколько вещественных корней имеет квадратное уравнение при D > 0?

Бесконечно много корней

Дискриминант уравнения x^2 + 2x + 5 = 0 отрицательный. Что это означает?

Один корень равен нулю

Что можно сказать о вещественных корнях квадратного уравнения при D < 0?

Есть два различных вещественных корня

Есть один равный вещественный корень

Бесконечно много корней

g9-1.3· Глава 1: Квадратные уравнения· ~14 мин

Дискриминант

Полное решение по формуле $D = b^2 - 4ac$ .

Дискриминант $D = b^2 - 4ac$ . В зависимости от знака $D$ : $D > 0$ — два различных вещественных корня; $D = 0$ — один равный корень ( $x = -\frac{b}{2a}$ ); $D < 0$ — вещественных корней нет. Формула корней: $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$ .

Пример: $x^2 - 5x + 6 = 0 \Rightarrow D = 25 - 24 = 1 \Rightarrow x = \frac{5 \pm 1}{2} \Rightarrow x_1 = 3$ , $x_2 = 2$ . Проверка: $3 + 2 = 5 = -\frac{b}{a}$ ✓; $3 \cdot 2 = 6 = \frac{c}{a}$ ✓.

📌Пример

Например, решим уравнение $2x^2 - 6x + 4 = 0$ через дискриминант: $D = 36 - 32 = 4$ , $x = \frac{6 \pm 2}{4}$ , то есть $x_1 = 2$ и $x_2 = 1$ .

Ключевые термины

Дискриминант

D

— Величина, определяющая количество корней уравнения

ax^2+bx+c=0

D=b^2-4ac

Формула корней — При

D\ge 0

корни находятся по формуле

x=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}

Два различных корня — Случай

D>0

: уравнение имеет два различных вещественных корня.

Один равный корень — Случай

D=0

: уравнение имеет один (кратный) корень,

x=-\frac{b}{2a}

Нет вещественных корней — Случай

D<0

: уравнение не имеет вещественных корней.

Коэффициенты

a,b,c

— В уравнении

ax^2+bx+c=0

a

— старший коэффициент,

b

— коэффициент при

x

c

— свободный член.

Знак дискриминанта и количество корней

$D=b^2-4ac$	Количество корней	Корни
$D>0$	Два различных корня	$x=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}$
$D=0$	Один равный корень	$x=-\frac{b}{2a}$
$D<0$	Нет вещественных корней	—

Знак $D$ показывает количество корней ещё до решения уравнения.

Примеры вычисления дискриминанта

Уравнение	$a,b,c$	$D=b^2-4ac$	Результат
$x^2-6x+5=0$	$1,-6,5$	$36-20=16$	Два корня
$x^2-4x+4=0$	$1,-4,4$	$16-16=0$	Один корень
$x^2+2x+5=0$	$1,2,5$	$4-20=-16$	Корней нет

Правильно выдели $a,b,c$ , затем вычисли $D=b^2-4ac$ .

✎Реши уравнение

x^2-7x+10=0

через дискриминант

1Определи коэффициенты: $a=1$ , $b=-7$ , $c=10$ .
2Вычисли дискриминант: $D=b^2-4ac=(-7)^2-4\cdot 1\cdot 10=49-40=9$ .
3Проверь знак: $D=9>0$ , значит два различных вещественных корня.
4Найди корни: $x=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}=\frac{7\pm\sqrt{9}}{2}=\frac{7\pm 3}{2}$ .
5Результат: $x_1=\frac{7+3}{2}=5$ , $x_2=\frac{7-3}{2}=2$ .

✎Найди корни уравнения

2x^2-7x+3=0

1Определи коэффициенты: $a=2$ , $b=-7$ , $c=3$ .
2Вычисли дискриминант: $D=(-7)^2-4\cdot 2\cdot 3=49-24=25$ .
3Примени формулу корней: $x=\frac{-(-7)\pm\sqrt{25}}{2\cdot 2}=\frac{7\pm 5}{4}$ .
4Результат: $x_1=\frac{7+5}{4}=3$ , $x_2=\frac{7-5}{4}=\frac{1}{2}$ .

🚫Частая ошибка

При $D<0$ не говори «два равных корня» — в этом случае вещественных корней НЕТ ВООБЩЕ. Два равных корня бывают только при $D=0$ .

⚠️Внимание

Когда $b$ отрицательное, следи за знаком: при $b=-7$ имеем $b^2=(-7)^2=49$ (не отрицательное), а в формуле корней $-b=7$ .

💡Заметка

Запомни: $D>0$ → два корня, $D=0$ → один корень, $D<0$ → корней нет.

💡Заметка

В полном квадрате ( $x^2-4x+4=(x-2)^2$ ) получается $D=0$ , и единственный корень находится по формуле $x=-\frac{b}{2a}$ .

⚠️Внимание

В параметрической задаче вроде $kx^2-6x+1=0$ условие единственного корня — это $D=0$ : $36-4k=0\Rightarrow k=9$ .

Правила

1 $D = b^2 - 4ac$ .
2 $D > 0 \Rightarrow x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$ (два корня).
3 $D = 0 \Rightarrow x = -\frac{b}{2a}$ (один корень).
4 $D < 0 \Rightarrow$ вещественных корней нет.
5Всегда сначала правильно определяй $a$ , $b$ , $c$ .

Тренировка

10 лёгких · 10 средних · 10 сложных

В каждом тесте — 10 случайных вопросов

Лёгкий Средний Сложный Микс