g9-1.4· Глава 1: Квадратные уравнения· ~10 мин

Формулы Виета

Сумма и произведение корней, восстановление уравнения.

$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$ , $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$ . Пример: $x^2 - 5x + 6 = 0 \Rightarrow x_1 + x_2 = 5$ , $x_1 \cdot x_2 = 6 \Rightarrow$ корни $2$ и $3$ ( $2 + 3 = 5$ ✓, $2 \cdot 3 = 6$ ✓).

Восстановление уравнения: если корни известны, запишем $x^2 - (x_1 + x_2)x + (x_1 \cdot x_2) = 0$ . Пример: корни $4$ и $-1 \Rightarrow x^2 - (4 + (-1))x + (4 \cdot (-1)) = 0 \Rightarrow x^2 - 3x - 4 = 0$ .

📌Пример

Например, проверим уравнение $x^2 - 7x + 10 = 0$ по формулам Виета: так как $x_1 + x_2 = 7$ и $x_1 \cdot x_2 = 10$ , корни равны $5$ и $2$ ( $5 + 2 = 7$ ✓, $5 \cdot 2 = 10$ ✓).

Ключевые термины

Формулы Виета — Соотношения, связывающие корни уравнения

ax^2+bx+c=0

с его коэффициентами:

x_1+x_2=-\frac{b}{a}

x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}

Сумма корней —

x_1+x_2=-\frac{b}{a}

. При старшем коэффициенте

a=1

равна просто

-b

Произведение корней —

x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}

. При старшем коэффициенте

a=1

равно просто

c

Восстановление уравнения — Если корни заданы, уравнение записывается в виде

x^2-(\text{сумма})x+(\text{произведение})=0

Старший коэффициент — Коэффициент при

x^2

в квадратном уравнении, то есть

a

. В формулах Виета стоит в знаменателе.

Условие применимости — Формулы Виета применяются только при наличии действительных корней (

D\ge 0

Формулы Виета

Величина	Формула	При $a=1$
Сумма корней	$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$	$-b$
Произведение корней	$x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}$	$c$
Восстановление уравнения	$x^2-(x_1+x_2)x+x_1 x_2=0$	—

Основные соотношения для уравнения $ax^2+bx+c=0$ .

Примеры: сумма и произведение

Уравнение	Сумма $x_1+x_2$	Произведение $x_1 x_2$	Корни
$x^2-7x+12=0$	$7$	$12$	$3$ и $4$
$x^2+5x+6=0$	$-5$	$6$	$-2$ и $-3$
$x^2-8x+15=0$	$8$	$15$	$3$ и $5$
$x^2-x-6=0$	$1$	$-6$	$3$ и $-2$

При $a=1$ сумма $=-b$ , произведение $=c$ .

✎Найди корни уравнения

x^2-8x+15=0

1Запиши коэффициенты: $a=1$ , $b=-8$ , $c=15$ .
2Найди сумму: $x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{-8}{1}=8$ .
3Найди произведение: $x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}=\frac{15}{1}=15$ .
4Подбери два числа: Числа с суммой $8$ и произведением $15$ : $3$ и $5$ .
5Проверь: $3+5=8$ ✓ и $3\cdot 5=15$ ✓. Корни: $3$ и $5$ .

✎Составь уравнение, у которого сумма корней

3

, произведение

-10

1Формула восстановления: $x^2-(\text{сумма})x+(\text{произведение})=0$ .
2Подставь значения: $x^2-(3)x+(-10)=0$ .
3Упрости: $x^2-3x-10=0$ .
4Проверь: Корни $5$ и $-2$ : $5+(-2)=3$ ✓, $5\cdot(-2)=-10$ ✓.

💡Заметка

При $a=1$ запомни: сумма $=-b$ , произведение $=c$ . Таким образом, для $x^2-7x+12=0$ сумма равна $7$ , произведение — $12$ .

🚫Частая ошибка

Не перепутай знак суммы: в уравнении $x^2+5x+6=0$ коэффициент $b=+5$ , поэтому сумма равна $-\frac{5}{1}=-5$ , а не $+5$ .

⚠️Внимание

Если старший коэффициент не равен $1$ , не забудь про знаменатель: для $2x^2-10x+12=0$ сумма равна $-\frac{-10}{2}=5$ , а не просто $10$ .

⚠️Внимание

Если задан один корень, используй произведение, чтобы найти другой: $x^2+2x-15=0$ , произведение $-15$ , один корень $3$ — второй корень $\frac{-15}{3}=-5$ .

💡Заметка

Симметричные выражения вида $x_1^2+x_2^2$ вычисляй через $(x_1+x_2)^2-2x_1 x_2$ : для $x^2-4x+1=0$ получим $4^2-2\cdot 1=14$ .

Правила

1 $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$ .
2 $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$ .
3Восстановление уравнения: $x^2 - (\text{сумма})x + (\text{произведение}) = 0$ .
4Формулы Виета применяются при наличии действительных корней ( $D \ge 0$ ).

Тренировка

10 лёгких · 10 средних · 10 сложных

В каждом тесте — 10 случайных вопросов

Лёгкий Средний Сложный Микс