g9-1.5· Глава 1: Квадратные уравнения· ~14 мин

Применение уравнений

Решение текстовых задач с помощью квадратного уравнения.

Шаги: 1) обозначь неизвестное через $x$ ; 2) составь уравнение по условию; 3) реши уравнение; 4) проверь смысл результата (отрицательная длина недопустима и т. д.).

Пример: прямоугольник площадью $12$ см² имеет длину на $1$ см больше ширины. Решение: $x(x + 1) = 12 \Rightarrow x^2 + x - 12 = 0 \Rightarrow D = 1 + 48 = 49 \Rightarrow x = \frac{-1 + 7}{2} = 3$ . Ширина $= 3$ см, длина $= 4$ см.

Ещё пример: произведение двух последовательных натуральных чисел равно $30$ ; найдём их: $x(x + 1) = 30 \Rightarrow x^2 + x - 30 = 0 \Rightarrow D = 1 + 120 = 121$ , $\sqrt{D} = \sqrt{121} = 11 \Rightarrow x = \frac{-1 \pm 11}{2} \Rightarrow x = 5$ , значит числа $5$ и $6$ .

Ключевые термины

Неизвестное — Величина, которую нужно найти в задаче; обозначается буквой

x

Составить уравнение — Записать условие задачи в виде математического равенства через

x

, например

x(x+1)=12

Дискриминант — Для уравнения

ax^2+bx+c=0

дискриминант

D=b^2-4ac

; корни находятся по формуле

x=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}

Последовательные целые числа — Числа, следующие одно за другим:

x

x+1

; если чётные или нечётные —

x

x+2

Площадь прямоугольника — Произведение длины и ширины:

S=a\cdot b

; периметр

P=2(a+b)

Проверка смысла — Соответствие найденного корня условию задачи: длина и количество не могут быть отрицательными, при необходимости должны быть целыми.

Шаги решения текстовой задачи

Шаг	Действие	Пример
1	Обозначь неизвестное	ширина $=x$
2	Составь уравнение по условию	$x(x+1)=12$
3	Реши через дискриминант	$x^2+x-12=0,\ D=49$
4	Проверь смысл	$x=3>0$ подходит

Каждая текстовая задача решается этими четырьмя шагами.

Тип условия → составляемое уравнение

Тип задачи	Обозначение	Уравнение
Площадь квадрата $S$	сторона $=x$	$x^2=S$
Произведение двух последовательных чисел $p$	$x$ и $x+1$	$x(x+1)=p$
Прямоугольник, длина больше ширины на $k$	ширина $=x$	$x(x+k)=S$
Два числа: разность $f$ , произведение $p$	меньшее $=x$	$x(x+f)=p$

Готовые шаблоны уравнений для типичных текстовых задач.

✎Прямоугольник: длина на

2

см больше ширины, площадь

48

см²

1Обозначение: Ширина $=x$ , тогда длина $=x+2$ .
2Составить уравнение: $x(x+2)=48$ .
3Упростить: $x^2+2x-48=0$ .
4Дискриминант: $D=2^2-4\cdot 1\cdot(-48)=4+192=196$ , $\sqrt{D}=14$ .
5Найти корни: $x=\frac{-2\pm 14}{2}\Rightarrow x=6$ или $x=-8$ .
6Проверить смысл: Ширина не может быть отрицательной, поэтому $x=6$ ; длина $=6+2=8$ см.

✎Два положительных числа: разность

3

, произведение

54

1Обозначение: Меньшее число $=x$ , большее число $=x+3$ .
2Составить уравнение: $x(x+3)=54$ .
3Упростить: $x^2+3x-54=0$ .
4Дискриминант: $D=3^2-4\cdot 1\cdot(-54)=9+216=225$ , $\sqrt{D}=15$ .
5Найти корни: $x=\frac{-3\pm 15}{2}\Rightarrow x=6$ или $x=-9$ .
6Ответ: Так как число положительное, $x=6$ ; большее число $=6+3=9$ .

🚫Частая ошибка

Часто найдя $x$ , считают задачу решённой. Но вопрос может требовать большее число или длину: если $x=3$ , ответ может быть $x+1=4$ . Внимательно читай, какую именно величину требует вопрос.

⚠️Внимание

Дискриминант даёт два корня; отрицательный или дробный корень отбрось. Длина, ширина, количество могут быть только положительными (и при необходимости целыми).

💡Заметка

Для стороны квадрата: $x^2=S$ , значит сторона $=\sqrt{S}$ : при $S=49$ сторона $=7$ , при $S=144$ — $12$ .

💡Заметка

Для последовательных чисел: обычные последовательные — $x,\ x+1$ ; чётные или нечётные последовательные — $x,\ x+2$ .

Правила

1Обозначь неизвестное через $x$ .
2Составь уравнение по условию задачи.
3Реши уравнение через дискриминант.
4Обязательно проверь смысл решения (должно быть положительным; если требуется целое число — целым).

Тренировка

10 лёгких · 10 средних · 10 сложных

В каждом тесте — 10 случайных вопросов

Лёгкий Средний Сложный Микс