g9-2.1· Глава 2: Действительные числа· ~10 мин

Квадратный корень

Определение a\sqrt{a}, условие неотрицательности корня.

a\sqrt{a} (a≥0a \ge 0) — неотрицательное число, квадрат которого равен aa. Пример: 9=3\sqrt{9} = 3 (так как 32=93^2 = 9), 0=0\sqrt{0} = 0, 0,25=0,5\sqrt{0,25} = 0,5. Важно: a2=∣a∣\sqrt{a^2} = |a|.

Квадратный корень из отрицательного числа не существует в области действительных чисел: −4\sqrt{-4} не определён.

📌Пример

Например, 49=7\sqrt{49} = 7, так как 72=497^2 = 49, и (−7)2=49=7=∣−7∣\sqrt{(-7)^2} = \sqrt{49} = 7 = |-7|.

Ключевые термины

Квадратный корень a\sqrt{a} — При a≥0a \ge 0 — неотрицательное число, квадрат которого равен aa. Например 9=3\sqrt{9}=3, так как 32=93^2=9.
Условие неотрицательности корня — a≥0\sqrt{a} \ge 0 всегда верно; значение квадратного корня никогда не бывает отрицательным.
Условие подкоренного выражения — При a<0a < 0 выражение a\sqrt{a} не является действительным числом; например −4\sqrt{-4} не определён.
a2=∣a∣\sqrt{a^2} = |a| — Корень из квадрата числа равен его модулю; например (−7)2=∣−7∣=7\sqrt{(-7)^2}=|-7|=7.
(a)2=a(\sqrt{a})^2 = a — При a≥0a \ge 0 квадрат корня снова даёт подкоренное выражение; например (9)2=9(\sqrt{9})^2=9.
Абсолютное значение ∣a∣|a| — Неотрицательное значение числа, не зависящее от его знака: при a≥0a \ge 0 ∣a∣=a|a|=a, при a<0a < 0 ∣a∣=−a|a|=-a.
Основные правила квадратного корня
ПравилоУсловиеПример
a≥0\sqrt{a} \ge 0a≥0a \ge 025=5\sqrt{25}=5
(a)2=a(\sqrt{a})^2 = aa≥0a \ge 0(9)2=9(\sqrt{9})^2=9
a2=∣a∣\sqrt{a^2} = |a|любое aa(−5)2=5\sqrt{(-5)^2}=5
a\sqrt{a} не существуетa<0a < 0−9\sqrt{-9} не определён

Определение квадратного корня и его основные свойства.

Зависимость a2\sqrt{a^2} от знака aa
Знак aaЗначение a2\sqrt{a^2}Пример
a>0a > 0aa52=5\sqrt{5^2}=5
a=0a = 00002=0\sqrt{0^2}=0
a<0a < 0−a-a(−5)2=5\sqrt{(-5)^2}=5

Так как a2=∣a∣\sqrt{a^2}=|a|, результат никогда не бывает отрицательным.

✎Найди значение (−8)2+64\sqrt{(-8)^2} + \sqrt{64}
  1. 1Упрости первый корень: (−8)2=∣−8∣=8\sqrt{(-8)^2} = |-8| = 8 (так как a2=∣a∣\sqrt{a^2}=|a|).
  2. 2Вычисли второй корень: 64=8\sqrt{64} = 8, так как 82=648^2 = 64.
  3. 3Сложи: 8+8=168 + 8 = 16.
  4. 4Ответ: Значение выражения равно 1616.
✎Найди периметр квадрата с площадью 169169 см²
  1. 1Найди сторону: Так как площадь квадрата равна a2a^2, то a=169=13a = \sqrt{169} = 13 см.
  2. 2Формула периметра: Периметр квадрата P=4aP = 4a.
  3. 3Подставь значение: P=4⋅13=52P = 4 \cdot 13 = 52 см.
  4. 4Ответ: Периметр равен 5252 см.
🚫Частая ошибка

Писать 16=±4\sqrt{16}=\pm 4 — ошибка. Квадратный корень всегда даёт единственное неотрицательное значение: 16=4\sqrt{16}=4. Знак ±\pm появляется только при решении уравнений вида x2=16x^2=16.

⚠️Внимание

a2=a\sqrt{a^2}=a — неверно; правильно a2=∣a∣\sqrt{a^2}=|a|. При a<0a<0 результат равен −a-a, например (−5)2=5\sqrt{(-5)^2}=5.

⚠️Внимание

Отрицательное подкоренное выражение, например −9\sqrt{-9}, не даёт действительного числа — ответ должен быть «Не определён», а не −3-3.

💡Заметка

Для дробных и десятичных корней извлекай корень из числителя и знаменателя отдельно: 49=49=23\sqrt{\frac{4}{9}}=\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{9}}=\frac{2}{3}, 0,09=0,3\sqrt{0,09}=0,3.

💡Заметка

Выражение вида t−3\sqrt{t-3} определено только при неотрицательном подкоренном выражении, то есть t−3≥0t-3 \ge 0, откуда t≥3t \ge 3.

Правила

  1. 1a≥0\sqrt{a} \ge 0 всегда (определение неотрицательного корня).
  2. 2При a<0a < 0 выражение a\sqrt{a} не является действительным числом.
  3. 3(a)2=a(\sqrt{a})^2 = a, a≥0a \ge 0.
  4. 4a2=∣a∣\sqrt{a^2} = |a| (обращай внимание на знак).

Тренировка

10 лёгких · 10 средних · 10 сложных

В каждом тесте — 10 случайных вопросов

ЛёгкийСреднийСложныйМикс