g9-10.1· Глава 10: Рациональные выражения, системы уравнений и неравенства· ~13 мин

Рациональные выражения

Алгебраические дроби: упрощение, действия и недопустимые значения

Алгебраическая (рациональная) дробь — это дробь, числитель и знаменатель которой являются многочленами. Алгебраическая дробь имеет смысл только тогда, когда знаменатель не равен нулю; значения, обращающие знаменатель в нуль, называются недопустимыми значениями. Чтобы сократить дробь, нужно разложить числитель и знаменатель на множители и сократить общий множитель.

При умножении алгебраических дробей числитель умножают на числитель, а знаменатель на знаменатель; при делении первую дробь умножают на обратную вторую. При сложении и вычитании сначала находят общий знаменатель. Для разложения многочленов на множители используют формулу $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ , вынесение общего множителя за скобки или разложение квадратного трёхчлена.

📌Пример

Например: упростим выражение $\frac{x^2 - 9}{x + 3}$ . Разложим числитель на множители: $x^2 - 9 = (x-3)(x+3)$ . Тогда $\frac{x^2 - 9}{x + 3} = \frac{(x-3)(x+3)}{x+3} = x - 3$ (при $x \neq -3$ ). При $x = 5$ значение выражения равно $5 - 3 = 2$ .

Ключевые термины

Алгебраическая (рациональная) дробь — Дробь, числитель и знаменатель которой являются многочленами, например

\frac{x^2-9}{x+3}

Недопустимое значение — Значение, обращающее знаменатель в нуль; при этом значении дробь не имеет смысла (условие: знаменатель

\neq 0

Сокращение (упрощение) — Разложение числителя и знаменателя на множители и отмена только общего множителя.

Общий множитель — Множитель, одинаково присутствующий в числителе и знаменателе и подлежащий сокращению; не слагаемое.

Общий знаменатель — Единый знаменатель, к которому приводят дроби при сложении и вычитании, например

2x

для

\frac{1}{x}+\frac{1}{2x}

Разность квадратов — Формула

a^2-b^2=(a-b)(a+b)

; основное средство разложения на множители.

Действия с алгебраическими дробями

Действие	Правило	Пример
Сокращение	Отмени общий множитель	$\frac{6x}{9x}=\frac{2}{3}$
Умножение	Числитель $\cdot$ числитель / знаменатель $\cdot$ знаменатель	$\frac{x}{3}\cdot\frac{6}{x}=2$
Деление	Переверни вторую дробь и умножь	$\frac{7}{x}:\frac{2}{x}=\frac{7}{2}$
Сложение/вычитание	Приведи к общему знаменателю	$\frac{1}{x}+\frac{1}{2x}=\frac{3}{2x}$

После каждого действия необходимо упрощать результат.

Средства разложения на множители

Средство	Формула / Пример
Разность квадратов	$x^2-16=(x-4)(x+4)$
Общий множитель	$3x+6=3(x+2)$
Квадратный трёхчлен	$x^2+5x+6=(x+2)(x+3)$
Полный квадрат	$x^2+6x+9=(x+3)^2$

В трёхчлене сумма множителей равна $b$ , а произведение равно $c$ .

✎Упростить и найти значение:

\frac{x^2-25}{x^2-10x+25}

x=7

1Разложи числитель: Разность квадратов: $x^2-25=(x-5)(x+5)$ .
2Разложи знаменатель: Полный квадрат: $x^2-10x+25=(x-5)^2$ .
3Сократи: $\frac{(x-5)(x+5)}{(x-5)^2}=\frac{x+5}{x-5}$ (при $x\neq 5$ ).
4Вычисли значение: $x=7$ : $\frac{7+5}{7-5}=\frac{12}{2}=6$ .

✎Вычитание и нахождение значения:

\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x+2}

x=3

1Общий знаменатель: Общий знаменатель $(x-2)(x+2)=x^2-4$ .
2Вычти числители: $\frac{(x+2)-(x-2)}{x^2-4}=\frac{4}{x^2-4}$ .
3Вычисли значение: $x=3$ : $\frac{4}{9-4}=\frac{4}{5}=0{,}8$ .

🚫Частая ошибка

В $\frac{6x}{9x}$ переменная $x$ является общим множителем и в числителе, и в знаменателе — она полностью сокращается. Ответ равен $\frac{2}{3}$ , а не $\frac{2x}{3}$ .

⚠️Внимание

Сокращай только ОБЩИЙ МНОЖИТЕЛЬ, а не слагаемое. Нельзя упрощать дробь без предварительного разложения на множители.

⚠️Внимание

При делении переворачивается ВТОРАЯ дробь: $\frac{7}{x}:\frac{2}{x}=\frac{7}{2}$ , а не $\frac{2}{7}$ .

⚠️Внимание

При сложении знаменатели не перемножаются; берётся общий знаменатель. $\frac{1}{x}+\frac{1}{2x}=\frac{3}{2x}$ , а не $\frac{2}{x^2}$ .

💡Заметка

Чтобы найти недопустимое значение, приравняй только ЗНАМЕНАТЕЛЬ к нулю: для $\frac{5}{x-2}$ получаем $x-2=0$ , то есть $x=2$ .

Правила

1Алгебраическая дробь имеет смысл только при знаменателе $\neq 0$ ; значения, обращающие знаменатель в нуль, являются недопустимыми.
2Для сокращения разложи числитель и знаменатель на множители и сократи только ОБЩИЙ МНОЖИТЕЛЬ (а не слагаемое!).
3Умножение: числитель $\times$ числитель / знаменатель $\times$ знаменатель. Деление: переверни вторую дробь и умножь.
4Сложение/вычитание: приведи к общему знаменателю, затем сложи или вычти числители, после чего упрости.
5Средства разложения на множители: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ , общий множитель, квадратный трёхчлен $x^2 + bx + c = (x - x_1)(x - x_2)$ .

Тренировка

10 лёгких · 10 средних · 10 сложных

В каждом тесте — 10 случайных вопросов

Лёгкий Средний Сложный Микс