Как называется уравнение вида ax + by = c (a и b не равны нулю одновременно)?

Квадратное уравнение

Неполное уравнение

Уравнение с одной переменной

Что является решением системы из двух линейных уравнений?

Пара, удовлетворяющая только первому уравнению

Только значение x

Сумма коэффициентов уравнений

Как называется метод, основанный на почленном сложении уравнений для исключения одного из неизвестных?

Метод дискриминанта

g9-10.2· Глава 10: Рациональные выражения, системы уравнений и неравенства· ~14 мин

Системы уравнений

Решение системы, состоящей из двух линейных уравнений.

Уравнение вида $ax + by = c$ с двумя неизвестными ( $x$ и $y$ ) называется линейным уравнением с двумя переменными; его решением является пара чисел $(x; y)$ , удовлетворяющая уравнению. Два таких уравнения вместе образуют систему линейных уравнений, а решением системы является пара $(x; y)$ , удовлетворяющая ОБОИМ уравнениям одновременно.

Для решения системы существуют два основных метода: МЕТОД ПОДСТАНОВКИ — из одного уравнения выражают $x$ или $y$ и подставляют в другое, получая уравнение с одним неизвестным. МЕТОД СЛОЖЕНИЯ (алгебраического сложения) — уравнения складывают так, чтобы одно из неизвестных исчезло. В геометрическом смысле каждое уравнение задаёт прямую: если прямые пересекаются — одно решение, совпадают — бесконечно много решений, параллельны и не пересекаются — решений нет. Найденную пару $(x; y)$ обязательно нужно проверить в каждом из двух уравнений.

📌Пример

Например, решим систему $x + y = 5$ и $x - y = 1$ методом сложения: сложив уравнения почленно, получим $2x = 6$ , то есть $x = 3$ ; подставив $x = 3$ в первое уравнение: $3 + y = 5$ , откуда $y = 2$ , таким образом решение $(3; 2)$ (проверка: $3 + 2 = 5$ ✓ и $3 - 2 = 1$ ✓).

Ключевые термины

Линейное уравнение с двумя переменными — Уравнение вида

ax + by = c

, где

a

b

не равны нулю одновременно, с двумя неизвестными первой степени.

Система уравнений — Два линейных уравнения, рассматриваемых совместно; цель — найти пару

(x; y)

, удовлетворяющую обоим уравнениям одновременно.

Решение системы — Пара чисел

(x; y)

, удовлетворяющая ОБОИМ уравнениям одновременно.

Метод подстановки — Выразить

x

или

y

из одного уравнения и подставить в другое, получив уравнение с одним неизвестным.

Метод сложения — Складывать уравнения почленно (при необходимости предварительно умножив на число), чтобы одно из неизвестных взаимно уничтожилось.

Проверка решения — Подставить найденную пару

(x; y)

в оба уравнения и убедиться, что равенства выполняются.

Количество решений и геометрический смысл

Взаимное положение прямых	Количество решений	Пример
Пересекающиеся прямые	Одно решение	$x + y = 5,\ x - y = 1$
Совпадающие прямые	Бесконечно много решений	Одинаковые уравнения
Параллельные прямые	Решений нет	$x + y = 2,\ x + y = 5$

Каждое уравнение задаёт прямую; взаимное положение прямых определяет количество решений.

Два метода решения

Метод	Основной шаг	Когда удобен
Подстановка	Выразить одно неизвестное и подставить в другое уравнение	Если $y$ уже выражено, например $y = 3x - 1$
Сложение	Сложить уравнения почленно, чтобы одно неизвестное исчезло	Если коэффициенты взаимно уничтожаются, например $+y$ и $-y$

Оба метода сводят систему к уравнению с одним неизвестным.

✎Метод сложения:

x + y = 7,\ x - y = 3

1Сложить уравнения почленно: $(x + y) + (x - y) = 7 + 3$ , то есть $2x = 10$ .
2Найти $x$ : $x = \frac{10}{2} = 5$ .
3Найти $y$ : Подставим $x = 5$ в первое уравнение: $5 + y = 7$ , откуда $y = 2$ .
4Проверка и ответ: $5 + 2 = 7$ ✓ и $5 - 2 = 3$ ✓; решение $(5; 2)$ .

✎Метод подстановки:

y = 2x,\ x + y = 9

1Подставить выражение: Так как $y = 2x$ , запишем во втором уравнении вместо $y$ выражение $2x$ : $x + 2x = 9$ .
2Упростить: $3x = 9$ , откуда $x = \frac{9}{3} = 3$ .
3Найти $y$ : $y = 2x = 2 \cdot 3 = 6$ .
4Проверка и ответ: $x + y = 3 + 6 = 9$ ✓; решение $(3; 6)$ , то есть $x = 3$ .

🚫Частая ошибка

Записывая ответ в виде $(x; y)$ , не меняйте $x$ и $y$ местами: например, если решение $x = 5,\ y = 2$ , то ответ $(5; 2)$ , а не $(2; 5)$ .

⚠️Внимание

Если левые части одинаковы, а правые разные (например $x + y = 2$ и $x + y = 5$ ), система РЕШЕНИЙ НЕ ИМЕЕТ — это соответствует параллельным прямым.

⚠️Внимание

Прямые с одинаковым угловым коэффициентом ( $y = 2x + 1$ и $y = 2x - 3$ ) не пересекаются; если свободные члены различны — решений нет.

💡Заметка

Найдя одно неизвестное, подставьте его в более простое уравнение системы, чтобы легко найти второе.

💡Заметка

ОБЯЗАТЕЛЬНО проверяйте найденную пару в обоих уравнениях; пара, удовлетворяющая лишь одному из них, решением системы не является.

Правила

1Решение системы — это пара $(x; y)$ , удовлетворяющая ОБОИМ уравнениям одновременно.
2Метод подстановки: выразить $x$ или $y$ из одного уравнения и подставить в другое.
3Метод сложения: складывать уравнения почленно (при необходимости предварительно умножив на число), чтобы коэффициенты взаимно уничтожились.
4Количество решений: пересекающиеся прямые $\to$ одно решение; совпадающие прямые $\to$ бесконечно много решений; параллельные прямые $\to$ решений нет.
5Подставить найденное решение в оба уравнения и проверить.

Тренировка

10 лёгких · 10 средних · 10 сложных

В каждом тесте — 10 случайных вопросов

Лёгкий Средний Сложный Микс