g9-9.3· Глава 9: Статистика и Теория вероятностей· ~12 мин

Понятие вероятности

Классическая вероятность, пространство элементарных событий, противоположное событие.

Классическая вероятность: P(A)=P(A) = число благоприятных исходов ÷\div число всех возможных исходов. Множество всех возможных исходов опыта называется пространством элементарных событий. Противоположное событие: P(A′)=1−P(A)P(A') = 1 - P(A). Вероятность всегда находится между 00 и 11.

Пример: бросают кубик, выпадение чётного числа →\to благоприятные исходы {2,4,6}\{2,4,6\}, возможные исходы {1,2,3,4,5,6}\{1,2,3,4,5,6\} →\to P=36=12P = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}.

📌Пример

Например, в мешке 22 красных, 33 синих, 55 зелёных шара; вероятность вытащить синий шар равна P=310=0,3P = \frac{3}{10} = 0,3.

Ключевые термины

Классическая вероятность — P(A)=число благоприятных исходовчисло всех возможных исходовP(A) = \frac{\text{число благоприятных исходов}}{\text{число всех возможных исходов}}.
Пространство элементарных событий — Множество всех возможных исходов опыта; например, для кубика {1,2,3,4,5,6}\{1,2,3,4,5,6\}.
Противоположное событие — Событие A′A', наступающее тогда, когда AA не наступает; его вероятность P(A′)=1−P(A)P(A') = 1 - P(A).
Невозможное событие — Событие, которое никогда не происходит; его вероятность P=0P = 0.
Достоверное событие — Событие, которое происходит всегда; его вероятность P=1P = 1.
Условная вероятность — Вероятность события BB при условии, что произошло AA: P(B∣A)P(B \mid A); при выборе без возврата число возможных исходов уменьшается.
Формулы теории вероятностей
Тип событияФормула
Классическая вероятностьP(A)=благоприятныевозможныеP(A) = \frac{\text{благоприятные}}{\text{возможные}}
Противоположное событиеP(A′)=1−P(A)P(A') = 1 - P(A)
Независимые события (умножение)P(A∩B)=P(A)⋅P(B)P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)
Зависимые события (без возврата)P(A∩B)=P(A)⋅P(B∣A)P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B \mid A)
Взаимоисключающие (сложение)P(A∪B)=P(A)+P(B)P(A \cup B) = P(A) + P(B)

Вероятность всегда удовлетворяет 0≤P(A)≤10 \le P(A) \le 1.

Вероятности при бросании кубика
СобытиеБлагоприятные исходыВероятность
Чётное число{2,4,6}\{2,4,6\}36=12\frac{3}{6} = \frac{1}{2}
Нечётное число{1,3,5}\{1,3,5\}36=12\frac{3}{6} = \frac{1}{2}
Выпадение 66{6}\{6\}16\frac{1}{6}
44 или больше{4,5,6}\{4,5,6\}36=12\frac{3}{6} = \frac{1}{2}
НЕ простое{1,4,6}\{1,4,6\}36=12\frac{3}{6} = \frac{1}{2}

Пространство событий {1,2,3,4,5,6}\{1,2,3,4,5,6\}, число возможных исходов равно 66.

✎Последовательный выбор без возврата (красный, затем синий)
  1. 1Дано: В коробке 55 красных и 44 синих шара; два шара извлекаются без возврата.
  2. 2Первый шар: Вероятность того, что первый шар красный: P1=59P_1 = \frac{5}{9}.
  3. 3Второй шар: После извлечения одного шара осталось 88 шаров; вероятность синего: P2=48=12P_2 = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}.
  4. 4Правило умножения: P=P1⋅P2=59⋅12=518P = P_1 \cdot P_2 = \frac{5}{9} \cdot \frac{1}{2} = \frac{5}{18}.
  5. 5Ответ: P=518P = \frac{5}{18}.
✎Сумма двух кубиков равна 99
  1. 1Возможные исходы: Для двух кубиков общее число исходов: 6⋅6=366 \cdot 6 = 36.
  2. 2Благоприятные исходы: Пары, дающие сумму 99: (3,6),(4,5),(5,4),(6,3)(3,6),(4,5),(5,4),(6,3) — всего 44 пары.
  3. 3Вероятность: P=436=19P = \frac{4}{36} = \frac{1}{9}.
  4. 4Ответ: P=19P = \frac{1}{9}.
🚫Частая ошибка

«44 или больше» включает {4,5,6}\{4,5,6\}, поэтому P=36=12P = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}, а не 16\frac{1}{6} — не забывай считать граничное значение.

⚠️Внимание

При выборе без возврата знаменатель на втором шаге уменьшается: после извлечения одного шара из 99 остаётся 88, поэтому вероятность считается как 48\frac{4}{8}.

💡Заметка

Если спрашивают «НЕ наступит», используй противоположное событие: P(A′)=1−P(A)P(A') = 1 - P(A) — это быстрее.

💡Заметка

Противоположное событие работает и с десятичными вероятностями: если P(A)=0,7P(A) = 0,7, то вероятность не наступления равна 1−0,7=0,31 - 0,7 = 0,3.

⚠️Внимание

В задачах на условную вероятность пространство событий сужается: если известно «не жёлтый», то возможных исходов становится 99, а не 1212, и вероятность зелёного равна P=49P = \frac{4}{9}.

Правила

  1. 1P(A)=P(A) = число благоприятных исходов ÷\div число всех возможных исходов.
  2. 20≤P(A)≤10 \le P(A) \le 1; для невозможного события P=0P = 0, для достоверного события P=1P = 1.
  3. 3Противоположное событие: P(A′)=1−P(A)P(A') = 1 - P(A).
  4. 4Для последовательных независимых событий правило умножения: P(A∩B)=P(A)⋅P(B)P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B).
  5. 5Зависимые события (выбор без возврата): P(A∩B)=P(A)⋅P(B∣A)P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B \mid A), где P(B∣A)P(B \mid A) — вероятность BB при условии, что AA уже произошло.
  6. 6Для взаимоисключающих событий правило сложения: P(A∪B)=P(A)+P(B)P(A \cup B) = P(A) + P(B).

Тренировка

10 лёгких · 10 средних · 10 сложных

В каждом тесте — 10 случайных вопросов

ЛёгкийСреднийСложныйМикс