g9-10.3· Глава 10: Рациональные выражения, системы уравнений и неравенства· ~13 мин

Линейные неравенства

Знаки, свойства, множество решений и системы.

Запись, соединяющая два выражения знаком <<, >>, ≤\le или ≥\ge, называется неравенством. Прибавление или вычитание одного и того же числа из обеих частей неравенства не меняет его направление. При умножении или делении обеих частей на положительное число знак также остаётся прежним.

Однако при умножении или делении обеих частей на ОТРИЦАТЕЛЬНОЕ число знак обязательно МЕНЯЕТСЯ НА ПРОТИВОПОЛОЖНЫЙ (<< становится >>, ≤\le становится ≥\ge) — это важнейшее правило. Решением линейного неравенства является множество всех чисел, удовлетворяющих ему; оно изображается на числовой оси в виде интервала. Запись вида a<x<ba < x < b называется двойным неравенством, а одновременное выполнение двух неравенств — системой неравенств; решением системы является пересечение отдельных решений.

📌Пример

Например: в неравенстве 2x−3<52x - 3 < 5 прибавляем 33 к обеим частям: 2x<82x < 8, затем делим обе части на 22: x<4x < 4 — то есть все числа, меньшие 44, являются решением.

Ключевые термины

Неравенство — Запись, соединяющая два выражения знаком <<, >>, ≤\le или ≥\ge.
≤\le и ≥\ge — ≤\le — меньше или равно; ≥\ge — больше или равно, то есть включает случай равенства.
Множество решений — Множество всех чисел, удовлетворяющих неравенству; изображается на числовой оси в виде интервала.
Строгий / нестрогий знак — <<, >> — строгие (граница не включена, пустая точка); ≤\le, ≥\ge — нестрогие (граница включена, закрашенная точка).
Двойное неравенство — Запись вида a<x<ba < x < b; означает, что xx одновременно удовлетворяет двум условиям.
Система неравенств — Одновременное выполнение двух неравенств; решением является пересечение отдельных решений.
Влияние преобразований на знак
ОперацияВлияние на знак
Прибавление/вычитание одного и того же числа к обеим частямНе меняется
Умножение/деление на положительное числоНе меняется
Умножение/деление на отрицательное числоМеняется на противоположный (<→>< \to >)

Знак меняется на противоположный только при умножении или делении на отрицательное число.

Изображение множества решений на числовой оси
НеравенствоНаправлениеГраничная точка
x>2x > 2Вправо от 22Пустая (не включена)
x≥7x \ge 7Вправо от 77Закрашенная (включена)
x<4x < 4Влево от 44Пустая (не включена)

При строгом знаке ставится пустая точка, при ≤\le/≥\ge — закрашенная точка.

✎Реши неравенство 2x−3<52x - 3 < 5
  1. 1Прибавь 33 к обеим частям: 2x−3+3<5+3⇒2x<82x - 3 + 3 < 5 + 3 \Rightarrow 2x < 8
  2. 2Раздели на положительное 22 (знак не меняется): 2x2<82\frac{2x}{2} < \frac{8}{2}
  3. 3Результат: x<4x < 4 — все числа, меньшие 44, являются решением.
✎Реши неравенство −2x>6-2x > 6
  1. 1Раздели обе части на −2-2: −2x−2\frac{-2x}{-2} и 6−2\frac{6}{-2}
  2. 2Число отрицательное — смени знак на противоположный: Знак >> становится <<: x<6−2x < \frac{6}{-2}
  3. 3Результат: x<−3x < -3 — правая часть 6−2=−3\frac{6}{-2} = -3, знак изменился на противоположный.
⚠️Внимание

Знак меняется на противоположный только при умножении или делении на ОТРИЦАТЕЛЬНОЕ число; при положительном числе он остаётся прежним.

🚫Частая ошибка

В выражении вида 5−x≤15 - x \le 1 при делении на (−1)(-1) нужно и знак изменить, и правильно вычислить правую часть: −x≤−4⇒x≥4-x \le -4 \Rightarrow x \ge 4.

🚫Частая ошибка

Если исходный знак строгий (<<), результат тоже должен быть строгим — не заменяй его на ≤\le; случай равенства сохраняется только если исходный знак ≤\le/≥\ge.

💡Заметка

При подсчёте целых чисел проверяй границу: если x>2x > 2 строгое, то 22 не считается; если x≥−1x \ge -1, то −1-1 считается.

⚠️Внимание

В системе решением является ПЕРЕСЕЧЕНИЕ отдельных решений; например, {x>5;x<2}\{ x > 5 ; x < 2 \} не пересекается, поэтому решений нет.

Правила

  1. 1Прибавление/вычитание одного и того же числа к обеим частям не меняет знак.
  2. 2При умножении/делении на положительное число знак остаётся прежним.
  3. 3При умножении/делении на ОТРИЦАТЕЛЬНОЕ число знак МЕНЯЕТСЯ НА ПРОТИВОПОЛОЖНЫЙ (<→>< \to >).
  4. 4Множество решений изображай на числовой оси в виде интервала; граница включается при ≤\le/≥\ge, не включается при <</>>.
  5. 5Решением системы является пересечение решений отдельных неравенств.

Тренировка

10 лёгких · 10 средних · 10 сложных

В каждом тесте — 10 случайных вопросов

ЛёгкийСреднийСложныйМикс