g9-10.4· Глава 10: Рациональные выражения, системы уравнений и неравенства· ~14 мин

Квадратные неравенства

Решение неравенств вида $ax^2 + bx + c > 0$ методом интервалов.

Квадратное неравенство — это неравенство вида $ax^2 + bx + c > 0$ (или $<$ , $\le$ , $\ge$ ), где $a \neq 0$ . Чтобы решить его, сначала находим корни ( $x_1$ , $x_2$ ) квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ , затем смотрим на направление ветвей параболы: при $a > 0$ ветви направлены вверх, при $a < 0$ — вниз.

Методом интервалов отмечаем корни на числовой оси и определяем знаки. При $a > 0$ : если $(x - x_1)(x - x_2) > 0$ , решение лежит вне корней: $x < x_1$ или $x > x_2$ ; если $(x - x_1)(x - x_2) < 0$ , решение лежит между корнями: $x_1 < x < x_2$ . При $D < 0$ трёхчлен сохраняет знак $a$ для всех $x$ , поэтому неравенство либо истинно для всех чисел, либо не имеет решений.

Пример: для $x^2 - 5x + 6 > 0$ из уравнения $x^2 - 5x + 6 = 0$ находим $x_1 = 2$ , $x_2 = 3$ ; $a = 1 > 0$ , ветви вверх, поэтому положительные значения достигаются вне корней: ответ $x < 2$ или $x > 3$ .

Ключевые термины

Квадратное неравенство — Неравенство вида

ax^2 + bx + c > 0

(или

<

\le

\ge

), где

a \neq 0

Граничные точки (корни) — Корни

x_1 \le x_2

уравнения

ax^2 + bx + c = 0

; точки, делящие числовую ось на интервалы.

Ветви параболы — При

a > 0

ветви направлены вверх, при

a < 0

— вниз; это направление определяет знаки.

Метод интервалов — Способ нахождения решения путём отметки корней на числовой оси и определения знака трёхчлена на каждом интервале.

Дискриминант

D

— При

D < 0

вещественных корней нет, трёхчлен сохраняет знак

a

для всех

x

Замкнутый и открытый интервал — При

\le

\ge

корни включены в решение (замкнутый); при

<

>

— не включены (открытый).

Правило решения по знаку (

a > 0

)

Неравенство	Область решения	Ответ
$(x-x_1)(x-x_2) > 0$	вне корней	$x < x_1$ или $x > x_2$
$(x-x_1)(x-x_2) < 0$	между корнями	$x_1 < x < x_2$
$\ge 0$	вне корней, корни включены	$x \le x_1$ или $x \ge x_2$
$\le 0$	между корнями, корни включены	$x_1 \le x \le x_2$

При $a < 0$ при делении неравенства на $a$ знак меняется на противоположный.

Случай дискриминанта

D < 0

Знак $a$	Знак трёхчлена	Ответ для $> 0$	Ответ для $< 0$
$a > 0$	всегда положительный	все вещественные числа	решений нет
$a < 0$	всегда отрицательный	решений нет	все вещественные числа

При $D < 0$ вещественных корней нет, знак выражения не меняется.

✎Реши неравенство

x^2 - 5x + 6 > 0

1Найди корни: $x^2 - 5x + 6 = 0 \Rightarrow x_1 = 2$ , $x_2 = 3$ .
2Посмотри на параболу: $a = 1 > 0$ , ветви направлены вверх.
3Определи знак: Так как $> 0$ , решение лежит вне корней.
4Ответ: $x < 2$ или $x > 3$ .

✎Реши неравенство

2x^2 - 5x - 3 \ge 0

1Дискриминант: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49$ , $\sqrt{D} = 7$ .
2Найди корни: $x = \frac{5 \pm 7}{4}$ , то есть $x_1 = \frac{5-7}{4} = -0{,}5$ , $x_2 = \frac{5+7}{4} = 3$ .
3Определи знак: $a = 2 > 0$ , ветви вверх; для $\ge 0$ решение лежит вне корней, корни включены.
4Ответ: $x \le -0{,}5$ или $x \ge 3$ .

🚫Частая ошибка

В случае $a < 0$ (например $-x^2 + 4x - 3 > 0$ ) при умножении на $-1$ не забудь изменить знак неравенства: правильный вариант $x^2 - 4x + 3 < 0$ , решение лежит между корнями.

⚠️Внимание

При $\le$ или $\ge$ корни ВКЛЮЧЕНЫ в решение (замкнутый интервал); при $<$ или $>$ — не включены. При подсчёте целых чисел это различие меняет ответ.

⚠️Внимание

Для полного квадрата вида $x^2 - 6x + 9 > 0$ корень повторяется ( $x = 3$ ): ответ для $> 0$ — все числа, кроме $x \neq 3$ , а не «все числа».

💡Заметка

Увидев $D < 0$ , сразу смотри на знак: при $a > 0$ выражение всегда положительно, поэтому $x^2 + 4 > 0$ выполняется для всех чисел, а $x^2 - 4x + 5 < 0$ — ни для одного.

💡Заметка

$x^2 < 9$ — между корнями ( $-3 < x < 3$ ), $x^2 > 16$ — вне корней ( $x < -4$ или $x > 4$ ): записывай обе границы, чтобы не упустить ни одну сторону.

Правила

1Сначала найди корни уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ ( $x_1 \le x_2$ ), затем определи знак $a$ .
2 $a > 0$ , ветви вверх: $>0 \to$ вне корней ( $x < x_1$ или $x > x_2$ ); $<0 \to$ между корнями ( $x_1 < x < x_2$ ).
3 $a < 0$ , ветви вниз: знаки меняются на противоположные; при делении неравенства на $a$ ( $a < 0$ ) знак меняется.
4При $\le$ и $\ge$ корни включаются в решение (замкнутый интервал), при $<$ и $>$ — не включаются.
5При $D < 0$ трёхчлен сохраняет знак $a$ : либо истинно для всех $x$ , либо решений нет.

Тренировка

10 лёгких · 10 средних · 10 сложных

В каждом тесте — 10 случайных вопросов

Лёгкий Средний Сложный Микс