Каково определение параллелограмма?

Четырёхугольник, у которого все стороны равны

Четырёхугольник, у которого все углы прямые

Четырёхугольник, у которого только две стороны параллельны

Какое из утверждений о диагоналях параллелограмма верно?

Всегда перпендикулярны

Делят углы пополам

g9-11.1· Глава 11: Четырёхугольники и многоугольники· ~13 мин

Параллелограмм

Определение, свойства, периметр и площадь

Параллелограмм — это четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Его основные свойства: противоположные стороны равны ( $AB = CD$ , $BC = AD$ ); противоположные углы равны; сумма смежных углов равна $180^\circ$ ; диагонали пересекаются в точке, делящей каждую из них пополам. Сумма внутренних углов любого четырёхугольника равна $360^\circ$ , следовательно, в параллелограмме сумма тоже равна $360^\circ$ .

Периметр вычисляется по формуле $P = 2(a + b)$ , площадь — по формуле $S = a \cdot h$ (произведение стороны на опущенную на неё высоту) или $S = a \cdot b \cdot \sin\alpha$ .

📌Пример

Например: в параллелограмме со сторонами $a = 8$ см и $b = 5$ см периметр $P = 2(8 + 5) = 26$ см. Если высота, опущенная на сторону $a = 8$ см, равна $h = 3$ см, то площадь $S = a \cdot h = 8 \cdot 3 = 24$ см².

Ключевые термины

Параллелограмм — Четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

Противоположные стороны — В параллелограмме противоположные стороны равны:

AB = CD

BC = AD

Противоположные углы — В параллелограмме углы, лежащие напротив друг друга, равны.

Смежные углы — Углы, прилежащие к одной стороне; их сумма равна

180^\circ

Диагонали — Пересекаются в точке, делящей каждую из них пополам:

AO = \frac{AC}{2}

BO = \frac{BD}{2}

Высота — Перпендикуляр, опущенный на сторону; используется в формуле площади

S = a \cdot h

Основные формулы параллелограмма

Величина	Формула
Периметр	$P = 2(a + b)$
Площадь (через высоту)	$S = a \cdot h$
Площадь (через угол)	$S = a \cdot b \cdot \sin\alpha$
Сумма внутренних углов	$360^\circ$
Смежные углы	$\alpha + (180^\circ - \alpha) = 180^\circ$

Здесь $a$ и $b$ — смежные стороны, $h$ — высота, $\alpha$ — угол между сторонами.

Частный случай: один угол равен

90^\circ

Условие	Фигура
Один угол $90^\circ$	Прямоугольник
Диагонали перпендикулярны	Ромб
Диагонали равны	Прямоугольник

В общем параллелограмме диагонали могут быть ни равными, ни перпендикулярными.

✎Нахождение площади по сторонам и углу

1Дано: Стороны $a = 14$ см, $b = 6$ см, угол между ними $150^\circ$ .
2Формула: Площадь через угол: $S = a \cdot b \cdot \sin\alpha$ .
3Найдём синус: $\sin 150^\circ = \frac{1}{2}$ .
4Подставим: $S = 14 \cdot 6 \cdot \frac{1}{2}$ .
5Ответ: $S = 84 \cdot \frac{1}{2} = 42$ см².

✎Нахождение смежной стороны по периметру

1Дано: Периметр $P = 42$ см, одна сторона в $2$ раза больше другой.
2Обозначения: Меньшая сторона $b = x$ , большая сторона $a = 2x$ .
3Формула: $P = 2(a + b) = 2(2x + x) = 6x$ .
4Уравнение: $6x = 42$ , откуда $x = 7$ .
5Ответ: Меньшая сторона $b = 7$ см.

🚫Частая ошибка

Не путайте смежный угол с противоположным: ПРОТИВОПОЛОЖНЫЕ углы равны, а сумма СМЕЖНЫХ углов равна $180^\circ$ . Например, если $A = 65^\circ$ , то смежный $B = 180^\circ - 65^\circ = 115^\circ$ .

⚠️Внимание

Диагонали имеют особые свойства лишь в частных случаях: равенство диагоналей — только у прямоугольника, перпендикулярность — только у ромба. Не предполагайте это для общего параллелограмма.

⚠️Внимание

Периметр охватывает все четыре стороны: $P = 2(a + b)$ . Сумма $a + b$ — это лишь две смежные стороны; $P = 4a$ верно только для ромба.

💡Заметка

Диагональ делится пополам в точке пересечения: $AO = \frac{AC}{2}$ и $BD = 2 \cdot BO$ . Чтобы найти всю диагональ, умножьте её половину на $2$ .

💡Заметка

Для площади есть два способа: если известна высота — $S = a \cdot h$ , если известен угол — $S = a \cdot b \cdot \sin\alpha$ . При угле $90^\circ$ имеем $\sin 90^\circ = 1$ , то есть $S = a \cdot b$ .

Правила

1Противоположные стороны равны: $AB = CD$ и $BC = AD$ ; противоположные углы также равны.
2Сумма смежных (прилежащих к одной стороне) углов равна $180^\circ$ : если один из них равен $\alpha$ , то смежный угол равен $180^\circ - \alpha$ .
3Диагонали пересекаются в точке, делящей каждую из них пополам: каждая половина диагонали отсчитывается от точки пересечения.
4Периметр $P = 2(a + b)$ , где $a$ и $b$ — смежные стороны.
5Площадь $S = a \cdot h$ (сторона × опущенная на неё высота) или $S = a \cdot b \cdot \sin\alpha$ .

Тренировка

10 лёгких · 10 средних · 10 сложных

В каждом тесте — 10 случайных вопросов

Лёгкий Средний Сложный Микс