У какой фигуры диагонали всегда равны?

Параллелограмм (общий)

У какой фигуры диагонали взаимно перпендикулярны?

Прямоугольник (не квадрат)

Какое утверждение о квадрате является ВЕРНЫМ?

У квадрата равны только две стороны

Углы квадрата равны 60^∘

Диагонали квадрата не равны

g9-11.2· Глава 11: Четырёхугольники и многоугольники· ~14 мин

Прямоугольник, ромб и квадрат

Специальные параллелограммы: свойства, периметр, площадь и диагонали

Прямоугольник, ромб и квадрат — это специальные виды параллелограмма. Прямоугольник — это параллелограмм, у которого все углы равны $90^\circ$ ; его противоположные стороны равны, а диагонали равны и делятся пополам в точке пересечения. Для прямоугольника $P = 2(a + b)$ , $S = a \cdot b$ , а диагональ находится по теореме Пифагора: $d = \sqrt{a^2 + b^2}$ .

Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны ( $P = 4a$ ); его диагонали взаимно перпендикулярны, делятся пополам в точке пересечения и делят пополам углы при вершинах; площадь вычисляется по формуле $S = \frac{d_1 \cdot d_2}{2}$ или $S = a \cdot h$ . Квадрат является одновременно и прямоугольником, и ромбом: все его стороны равны и все углы равны $90^\circ$ ; поэтому $P = 4a$ , $S = a^2$ , диагональ $d = a\sqrt{2}$ , а диагонали одновременно равны, перпендикулярны и делятся пополам.

Пример: найдём диагональ прямоугольника со сторонами $6$ см и $8$ см. По теореме Пифагора $d = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$ см; площадь равна $S = 6 \cdot 8 = 48$ см².

Ключевые термины

Прямоугольник — Параллелограмм, у которого все углы равны

90^\circ

. Противоположные стороны равны, диагонали равны и делятся пополам.

Ромб — Параллелограмм, у которого все стороны равны (

P = 4a

). Диагонали перпендикулярны, делятся пополам и делят углы пополам.

Квадрат — Фигура, являющаяся одновременно прямоугольником и ромбом: все стороны равны и все углы равны

90^\circ

Диагональ — В прямоугольнике

d = \sqrt{a^2 + b^2}

, в квадрате

d = a\sqrt{2}

; в ромбе две диагонали перпендикулярны и делятся пополам.

Пифагорова тройка — Тройки сторон, дающие целую диагональ:

3

4

5

6

8

10

5

12

13

Формула площади ромба — Через диагонали:

S = \frac{d_1 \cdot d_2}{2}

, через высоту:

S = a \cdot h

Формулы для специальных параллелограммов

Фигура	Периметр	Площадь	Диагональ
Прямоугольник	$P = 2(a + b)$	$S = a \cdot b$	$d = \sqrt{a^2 + b^2}$
Ромб	$P = 4a$	$S = \frac{d_1 \cdot d_2}{2}$ или $S = a \cdot h$	$d_1 \perp d_2$ , делятся пополам
Квадрат	$P = 4a$	$S = a^2$	$d = a\sqrt{2}$

Сторона каждой фигуры равна $a$ , у прямоугольника стороны $a$ и $b$ , у ромба диагонали $d_1$ и $d_2$ .

Сравнение свойств диагоналей

Свойство	Прямоугольник	Ромб	Квадрат
Равны	Да	Нет	Да
Перпендикулярны	Нет	Да	Да
Делятся пополам	Да	Да	Да

Квадрат является одновременно прямоугольником и ромбом, поэтому его диагонали и равны, и перпендикулярны.

✎Диагональ прямоугольника (теорема Пифагора)

1Дано: Прямоугольник со сторонами $a = 6$ см и $b = 8$ см. Найти диагональ $d$ .
2Формула: Диагональ по теореме Пифагора: $d = \sqrt{a^2 + b^2}$ .
3Подставляем: $d = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64}$ .
4Вычисляем: $d = \sqrt{100} = 10$ .
5Ответ: Диагональ $d = 10$ см.

✎Площадь ромба по стороне и одной диагонали

1Дано: Сторона ромба $a = 5$ см, одна диагональ $d_1 = 6$ см. Найти площадь $S$ .
2Полудиагональ: Так как диагонали делятся пополам, первая полудиагональ равна $\frac{d_1}{2} = 3$ см.
3Вторая полудиагональ: Полудиагонали вместе со стороной образуют прямоугольный треугольник: $\frac{d_2}{2} = \sqrt{a^2 - \left(\frac{d_1}{2}\right)^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4$ см.
4Вторая диагональ: $d_2 = 2 \cdot 4 = 8$ см.
5Площадь: $S = \frac{d_1 \cdot d_2}{2} = \frac{6 \cdot 8}{2} = 24$ .
6Ответ: Площадь ромба равна $24$ см².

🚫Частая ошибка

Когда дана диагональ, не путай полную диагональ с полудиагональю: если полудиагональ равна $4$ см, то полная диагональ равна $4 \cdot 2 = 8$ см, а не $4 \cdot 4$ .

⚠️Внимание

Равные диагонали характерны для прямоугольника, перпендикулярные — для ромба. Если оба условия выполняются (равны и перпендикулярны), то фигура обязательно является квадратом.

💡Заметка

Диагональ квадрата равна $d = a\sqrt{2}$ , поэтому площадь можно найти непосредственно через диагональ: $S = \frac{d^2}{2}$ (например, $d = 10 \Rightarrow S = 50$ ).

💡Заметка

В задачах с целой диагональю запомни Пифагоровы тройки: $3$ - $4$ - $5$ , $6$ - $8$ - $10$ , $5$ - $12$ - $13$ .

⚠️Внимание

Каждый квадрат является ромбом, но не каждый ромб является квадратом; и не каждый прямоугольник является ромбом — смежные стороны могут быть неравны.

Правила

1Прямоугольник: все углы $90^\circ$ , диагонали РАВНЫ и делятся пополам; $P = 2(a + b)$ , $S = a \cdot b$ , $d = \sqrt{a^2 + b^2}$ .
2Ромб: все стороны равны ( $P = 4a$ ); диагонали ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫ, делятся пополам и делят углы пополам; $S = \frac{d_1 \cdot d_2}{2}$ или $S = a \cdot h$ .
3Квадрат: одновременно прямоугольник и ромб; $P = 4a$ , $S = a^2$ , $d = a\sqrt{2}$ ; диагонали равны, перпендикулярны и делятся пополам.
4Для прямоугольников с целой диагональю используй Пифагоровы тройки: $3$ - $4$ - $5$ , $6$ - $8$ - $10$ , $5$ - $12$ - $13$ .
5В ромбе диагонали перпендикулярны, поэтому полудиагонали образуют прямоугольный треугольник; сторона $a = \sqrt{\left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2}$ .

Тренировка

10 лёгких · 10 средних · 10 сложных

В каждом тесте — 10 случайных вопросов

Лёгкий Средний Сложный Микс