g9-2.2· Глава 2: Действительные числа· ~12 мин

Свойства квадратного корня

ab=a⋅b\sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}, упрощение.

Основные свойства (a,b≥0a, b \ge 0): a⋅b=a⋅b\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}; ab=ab\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} (b≠0b \neq 0). Упрощение: из-под корня выносится полный квадрат. Пример: 12=4⋅3=4⋅3=23\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{3}.

Сложение: складываются только подобные слагаемые (с одинаковым подкоренным выражением): 32+52=823\sqrt{2} + 5\sqrt{2} = 8\sqrt{2}, но 32+533\sqrt{2} + 5\sqrt{3} не упрощается.

📌Пример

Например, 75=25⋅3=53\sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = 5\sqrt{3}, поэтому 75+27=53+33=83\sqrt{75} + \sqrt{27} = 5\sqrt{3} + 3\sqrt{3} = 8\sqrt{3}.

Ключевые термины

Квадратный корень — a\sqrt{a} — неотрицательное число, квадрат которого равен aa (a≥0a \ge 0).
Корень из произведения — ab=a⋅b\sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} (a,b≥0a, b \ge 0) — подкоренное произведение разбивается на отдельные корни.
Корень из дроби — ab=ab\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} (a≥0a \ge 0, b≠0b \neq 0).
Упрощение — Вынесение полного квадрата из-под корня: n2⋅k=nk\sqrt{n^2 \cdot k} = n\sqrt{k}.
Подобные слагаемые (с одинаковым подкоренным выражением) — Слагаемые с одинаковым подкоренным выражением; только они могут складываться и вычитаться: ac+bc=(a+b)ca\sqrt{c} + b\sqrt{c} = (a+b)\sqrt{c}.
Квадрат корня — (a)2=a(\sqrt{a})^2 = a (a≥0a \ge 0) — корень и квадрат взаимно уничтожаются.
Свойства квадратного корня
СвойствоФормулаПример
Корень из произведенияab=a⋅b\sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}4⋅25=2⋅5=10\sqrt{4 \cdot 25} = 2 \cdot 5 = 10
Корень из дробиab=ab\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}94=32\sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{3}{2}
Вынесение полного квадратаn2⋅k=nk\sqrt{n^2 \cdot k} = n\sqrt{k}18=9⋅2=32\sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2}
Подобные слагаемыеac+bc=(a+b)ca\sqrt{c} + b\sqrt{c} = (a+b)\sqrt{c}32+52=823\sqrt{2} + 5\sqrt{2} = 8\sqrt{2}
Квадрат корня(a)2=a(\sqrt{a})^2 = a(7)2=7(\sqrt{7})^2 = 7

Во всех свойствах a,b≥0a, b \ge 0 (в дроби b≠0b \neq 0).

Полные квадраты для упрощения
ВыражениеРазложение на множителиРезультат
8\sqrt{8}4⋅2\sqrt{4 \cdot 2}222\sqrt{2}
32\sqrt{32}16⋅2\sqrt{16 \cdot 2}424\sqrt{2}
45\sqrt{45}9⋅5\sqrt{9 \cdot 5}353\sqrt{5}
75\sqrt{75}25⋅3\sqrt{25 \cdot 3}535\sqrt{3}

Найди наибольший множитель подкоренного числа, являющийся полным квадратом, затем вынеси его из-под корня.

✎Вычисли 75+48\sqrt{75} + \sqrt{48}
  1. 1Упрости первый корень: 75=25⋅3=53\sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = 5\sqrt{3}.
  2. 2Упрости второй корень: 48=16⋅3=43\sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3}.
  3. 3Сложи подобные слагаемые: Оба содержат 3\sqrt{3}: 53+43=935\sqrt{3} + 4\sqrt{3} = 9\sqrt{3}.
  4. 4Ответ: 75+48=93\sqrt{75} + \sqrt{48} = 9\sqrt{3}.
✎Вычисли произведение (3+2)(3−2)(\sqrt{3} + \sqrt{2})(\sqrt{3} - \sqrt{2})
  1. 1Формула произведения суммы и разности: Применяем (x+y)(x−y)=x2−y2(x+y)(x-y) = x^2 - y^2.
  2. 2Запиши квадраты: (3)2−(2)2(\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2.
  3. 3Устрани корни: (3)2=3(\sqrt{3})^2 = 3 и (2)2=2(\sqrt{2})^2 = 2, значит 3−23 - 2.
  4. 4Ответ: 3−2=13 - 2 = 1.
🚫Частая ошибка

Для 12+3\sqrt{12} + \sqrt{3} писать 15\sqrt{15} — ошибка: при сложении корней подкоренные выражения не складываются. Сначала упрости: 12=23\sqrt{12} = 2\sqrt{3}, затем 23+3=332\sqrt{3} + \sqrt{3} = 3\sqrt{3}.

⚠️Внимание

Складываться и вычитаться могут только подобные слагаемые: 32+533\sqrt{2} + 5\sqrt{3} не упрощается, но 32+52=823\sqrt{2} + 5\sqrt{2} = 8\sqrt{2}.

💡Заметка

При умножении и делении подкоренные выражения объединяются: 8⋅2=16=4\sqrt{8} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{16} = 4, 48÷3=16=4\sqrt{48} \div \sqrt{3} = \sqrt{16} = 4.

⚠️Внимание

При возведении (23)2(2\sqrt{3})^2 в квадрат возводи и коэффициент тоже: 22⋅(3)2=4⋅3=122^2 \cdot (\sqrt{3})^2 = 4 \cdot 3 = 12, а не 434\sqrt{3}.

💡Заметка

Проверяй упрощение: 282\sqrt{8} — не окончательный ответ, так как 8=22\sqrt{8} = 2\sqrt{2}, то есть должно быть 32=42\sqrt{32} = 4\sqrt{2}.

Правила

  1. 1ab=a⋅b\sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}.
  2. 2ab=ab\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}.
  3. 3Выноси полный квадрат из-под корня: n2⋅k=nk\sqrt{n^2 \cdot k} = n\sqrt{k}.
  4. 4Подобные слагаемые (с одинаковым подкоренным выражением) складываются: ac+bc=(a+b)ca\sqrt{c} + b\sqrt{c} = (a+b)\sqrt{c}.

Тренировка

10 лёгких · 10 средних · 10 сложных

В каждом тесте — 10 случайных вопросов

ЛёгкийСреднийСложныйМикс