g9-2.3· Глава 2: Действительные числа· ~12 мин

Степени

Степени с целым показателем и их свойства.

$a^n = a \cdot a \cdot \ldots \cdot a$ ( $n$ раз, $n \in \mathbb{N}$ ). Свойства: $a^n \cdot a^m = a^{n+m}$ ; $(a^n)^m = a^{nm}$ ; $(ab)^n = a^n \cdot b^n$ ; $a^0 = 1$ ( $a \neq 0$ ). Пример: $2^3 \cdot 2^2 = 2^{3+2} = 2^5 = 32$ . $(3^2)^2 = 3^{2 \cdot 2} = 3^4 = 81$ .

Отрицательное основание с чётным показателем: $(-2)^4 = 16 > 0$ ; с нечётным показателем: $(-2)^3 = -8 < 0$ .

📌Пример

Например, $5^2 \cdot 5^3 = 5^{2+3} = 5^5 = 3125$ , а $(-3)^4 = 81$ , так как степень отрицательного основания с чётным показателем положительна.

Ключевые термины

Степень —

a^n = a \cdot a \cdot \ldots \cdot a

(

n

раз,

n \in \mathbb{N}

) — умножение основания

a

на само себя

n

раз.

Основание — Число, которое повторно перемножается в степени; в выражении

a^n

это

a

Показатель — Число, указывающее, сколько раз умножается основание; в выражении

a^n

это

n

Нулевой показатель — Любое основание, отличное от нуля, в нулевой степени равно единице:

a^0 = 1

(

a \neq 0

Отрицательный показатель —

a^{-n} = \frac{1}{a^n}

(

a \neq 0

) — подробно изучается в следующих темах.

Степень отрицательного основания — При чётном показателе результат положительный (

(-2)^4 = 16

), при нечётном — сохраняется знак основания (

(-2)^3 = -8

Основные свойства степени

Свойство	Формула	Пример
Произведение степеней с одинаковым основанием	$a^n \cdot a^m = a^{n+m}$	$2^3 \cdot 2^2 = 2^5 = 32$
Деление степеней с одинаковым основанием	$a^n \div a^m = a^{n-m}$	$4^3 \div 4^2 = 4^1 = 4$
Степень степени	$(a^n)^m = a^{nm}$	$(3^2)^2 = 3^4 = 81$
Степень произведения	$(ab)^n = a^n \cdot b^n$	$(2 \cdot 3)^3 = 2^3 \cdot 3^3 = 216$
Нулевой показатель	$a^0 = 1$ ( $a \neq 0$ )	$6^0 = 1$

Основные правила преобразования степеней с целым показателем.

Знак степени отрицательного основания

Случай	Условие	Пример
Чётный показатель	Результат положительный	$(-2)^4 = 16$
Нечётный показатель	Результат отрицательный	$(-2)^3 = -8$
Чётный показатель	Результат положительный	$(-3)^2 = 9$
Нечётный показатель	Результат отрицательный	$(-3)^3 = -27$

Знак результата зависит только от чётности или нечётности показателя.

✎

(2^3)^2 \div 2^3 = ?

1Степень степени: $(2^3)^2 = 2^{3 \cdot 2} = 2^6$
2Деление степеней с одинаковым основанием: $2^6 \div 2^3 = 2^{6-3} = 2^3$
3Вычисление: $2^3 = 8$
4Ответ: $8$

✎

2^4 \cdot (-1)^5 + 3^2 = ?

1Первая степень: $2^4 = 16$
2Отрицательное основание с нечётным показателем: $(-1)^5 = -1$ (нечётный показатель сохраняет знак)
3Произведение: $16 \cdot (-1) = -16$
4Вторая степень: $3^2 = 9$
5Сложение: $-16 + 9 = -7$
6Ответ: $-7$

🚫Частая ошибка

$2^4 + 2^3$ — это сумма степеней, а не произведение; складывать показатели нельзя. Вычисляй каждую отдельно: $16 + 8 = 24$ .

⚠️Внимание

В выражении $2^3 \cdot 2^2$ складываются показатели ( $2^5 = 32$ ), а не перемножаются основания; писать $4^5$ — ошибка.

⚠️Внимание

При отрицательном основании следи за знаком: $(-2)^4 = 16$ (положительное), но $(-2)^5 = -32$ (отрицательное) — чётный показатель даёт плюс, нечётный — минус.

💡Заметка

$a^0 = 1$ ( $a \neq 0$ ): $5^2 \cdot 5^0 = 5^2 \cdot 1 = 25$ — нулевая степень не меняет результат.

💡Заметка

В смешанных выражениях сначала вычисляй степени, затем умножение и деление, и в последнюю очередь сложение и вычитание.

Правила

1 $a^n \cdot a^m = a^{n+m}$ — одинаковые основания, показатели складываются.
2 $(a^n)^m = a^{nm}$ — степень степени.
3 $a^0 = 1$ ( $a \neq 0$ ).
4Чётный показатель: результат всегда положительный. Нечётный показатель: сохраняет знак основания.
5 $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ ( $a \neq 0$ ) — отрицательный показатель (подробно изучается в следующих темах).

Тренировка

10 лёгких · 10 средних · 10 сложных

В каждом тесте — 10 случайных вопросов

Лёгкий Средний Сложный Микс