g9-4.1· Глава 4: Числовые последовательности· ~12 мин

Арифметическая прогрессия

Постоянная разность, формула общего члена и свойства.

Арифметическая прогрессия — это последовательность, в которой разность соседних членов равна постоянному числу $d$ ; это число называется постоянной разностью. Формула общего члена: $a_n = a_1 + (n-1) \cdot d$ .

Если $d > 0$ , прогрессия возрастающая; если $d < 0$ — убывающая; если $d = 0$ — постоянная. Свойство среднего члена: $a_n = \frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}$ .

Пример: в прогрессии $2, 5, 8, 11, \ldots$ имеем $a_1 = 2$ , $d = 3$ ; пятый член $a_5 = 2 + 4 \cdot 3 = 14$ . Например, в прогрессии $7, 11, 15, 19, \ldots$ при $a_1 = 7$ , $d = 4$ шестой член $a_6 = 7 + 5 \cdot 4 = 27$ .

Ключевые термины

Арифметическая прогрессия — Числовая последовательность, в которой разность соседних членов равна постоянному числу

d

Постоянная разность (

d

) — Разность между каждым членом и предыдущим:

d = a_n - a_{n-1}

; одинакова для всех пар соседних членов.

Формула общего члена — Формула для нахождения любого члена:

a_n = a_1 + (n-1) \cdot d

Свойство среднего члена — Каждый член является средним арифметическим соседних членов:

a_n = \frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}

Возрастающая / убывающая прогрессия — При

d > 0

прогрессия возрастающая, при

d < 0

— убывающая.

Постоянная прогрессия — Арифметическая прогрессия с

d = 0

; все её члены одинаковы.

Основные формулы

Понятие	Формула
Постоянная разность	$d = a_n - a_{n-1}$
Общий член	$a_n = a_1 + (n-1) \cdot d$
Средний член	$a_n = \frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}$

Расчётные формулы арифметической прогрессии.

Знак постоянной разности

Условие	Вид прогрессии	Пример
$d > 0$	Возрастающая	$2, 5, 8, 11, \ldots$
$d < 0$	Убывающая	$10, 7, 4, 1, \ldots$
$d = 0$	Постоянная	$5, 5, 5, 5, \ldots$

Знак постоянной разности определяет характер прогрессии.

✎Нахождение десятого члена

1Дано: В прогрессии $3, 7, 11, \ldots$ имеем $a_1 = 3$ ; найти $a_{10} = ?$
2Постоянная разность: $d = a_2 - a_1 = 7 - 3 = 4$
3Формула: $a_n = a_1 + (n-1) \cdot d$
4Подстановка: $a_{10} = 3 + (10-1) \cdot 4 = 3 + 9 \cdot 4$
5Результат: $a_{10} = 3 + 36 = 39$

✎Нахождение постоянной разности по двум членам

1Дано: $a_3 = 9$ , $a_7 = 17$ ; найти $d = ?$
2Разность членов: $a_7 - a_3 = (a_1 + 6d) - (a_1 + 2d) = 4d$
3Уравнение: $4d = 17 - 9 = 8$
4Результат: $d = \frac{8}{4} = 2$

🚫Частая ошибка

В формуле $a_n = a_1 + (n-1) \cdot d$ пишется $(n-1)$ , а не $n$ . Например, для $a_5$ прибавляется $4d$ , а не $5d$ : $a_5 = 2 + 4 \cdot 3 = 14$ .

⚠️Внимание

При нахождении постоянной разности соблюдайте порядок $a_{n+1} - a_n$ . В убывающей прогрессии ( $10, 7, 4, \ldots$ ) $d = 7 - 10 = -3$ — отрицательное число, а не $+3$ .

💡Заметка

Если даны два члена с промежутком, соотношение $a_m - a_k = (m-k) \cdot d$ быстро даёт $d$ ; например $a_7 - a_3 = 4d$ .

💡Заметка

Свойство среднего члена: средний член является средним арифметическим своих соседей: $a_2 = \frac{a_1 + a_3}{2} = \frac{3 + 11}{2} = 7$ .

⚠️Внимание

Прогрессия с $d = 0$ тоже является арифметической и называется постоянной; не путайте её с геометрической прогрессией.

Правила

1общий член: $a_n = a_1 + (n-1) \cdot d$
2постоянная разность: $d = a_n - a_{n-1}$ (одинакова для любой пары соседних членов)
3свойство среднего члена: $a_n = \frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}$

Тренировка

10 лёгких · 10 средних · 10 сложных

В каждом тесте — 10 случайных вопросов

Лёгкий Средний Сложный Микс