g9-4.2· Глава 4: Числовые последовательности· ~12 мин

Сумма арифметической прогрессии

Вычисление суммы первых n членов

Сумма первых $n$ членов арифметической прогрессии может быть найдена двумя формулами. Первая формула: $S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$ — здесь $a_1$ — первый член, $a_n$ — последний член. Вторая формула: $S_n = \frac{n(2a_1 + (n-1)d)}{2}$ — здесь $d$ — разность.

Например, в прогрессии $1 + 2 + 3 + \ldots + 10$ : $a_1 = 1$ , $a_{10} = 10$ , $S_{10} = \frac{10 \cdot (1 + 10)}{2} = \frac{10 \cdot 11}{2} = 55$ . Другой пример: в прогрессии $3, 5, 7, 9$ : $n = 4$ , $a_1 = 3$ , $a_4 = 9$ , $S_4 = \frac{4 \cdot (3 + 9)}{2} = \frac{4 \cdot 12}{2} = 24$ .

📌Пример

Например, сумма прогрессии $4, 7, 10, 13, 16$ : $S_5 = \frac{5 \cdot (4 + 16)}{2} = 5 \cdot 10 = 50$ .

Ключевые термины

Арифметическая прогрессия — Последовательность, в которой каждый член отличается от предыдущего на постоянную разность

d

a_{n} = a_{n-1} + d

Сумма первых

n

членов

S_n

— Величина, получаемая сложением первых

n

членов прогрессии:

a_1 + a_2 + \ldots + a_n

Первый член

a_1

— Первый элемент прогрессии; основное данное для формул суммы.

Последний член

a_n

— Последний член, входящий в сумму; находится по формуле

a_n = a_1 + (n-1)d

Разность

d

— Постоянная разность между соседними членами:

d = a_n - a_{n-1}

Число членов

n

— Количество членов, входящих в сумму; является множителем в формуле суммы.

Формулы суммы

Формула	Когда применяется	Необходимые данные
$S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$	Известны первый и последний члены	$n$ , $a_1$ , $a_n$
$S_n = \frac{n(2a_1 + (n-1)d)}{2}$	Известны первый член и разность	$n$ , $a_1$ , $d$

Обе формулы дают одинаковый результат; выбирай ту, для которой известны данные.

Вспомогательные формулы

Что находим	Формула	Пример
Последний член	$a_n = a_1 + (n-1)d$	$a_1=2,\ d=5,\ n=7 \Rightarrow a_7=32$
Член через $S_n$	$a_n = S_n - S_{n-1}$	$S_n=3n^2+2n \Rightarrow a_5=29$

Дополнительные формулы, часто нужные при задачах на сумму.

✎Сумма через

a_1

d

a_1=2

d=5

n=7

1Выбери формулу: Известны первый член и разность, поэтому используем $S_n = \frac{n(2a_1 + (n-1)d)}{2}$ .
2Подставь значения: $S_7 = \frac{7(2\cdot 2 + (7-1)\cdot 5)}{2}$ .
3Вычисли скобку: $2\cdot 2 = 4$ , $6\cdot 5 = 30$ , сумма $4 + 30 = 34$ .
4Результат: $S_7 = \frac{7 \cdot 34}{2} = \frac{238}{2} = 119$ .

✎Сумма через первый и последний члены:

1 + 2 + 3 + \ldots + 10

1Запиши данные: $a_1 = 1$ , $a_{10} = 10$ , $n = 10$ .
2Выбери формулу: Известны первый и последний члены: $S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$ .
3Подставь: $S_{10} = \frac{10(1 + 10)}{2} = \frac{10 \cdot 11}{2}$ .
4Результат: $S_{10} = \frac{110}{2} = 55$ .

⚠️Внимание

В формуле $a_n = a_1 + (n-1)d$ пишется $(n-1)$ , а не $n$ . Например, для $a_1=2$ , $d=5$ , $n=7$ : $a_7 = 2 + 6\cdot 5 = 32$ , а не $a_7 = 2 + 7\cdot 5$ .

🚫Частая ошибка

В формуле суммы нужно делить весь числитель на $2$ : $S_7=\frac{7\cdot 34}{2}=119$ . Написать $7\cdot 34=238$ без деления — ошибка.

💡Заметка

Сумма первых $n$ натуральных чисел кратко равна $\frac{n(n+1)}{2}$ . Например, первые $20$ чисел: $\frac{20\cdot 21}{2}=210$ .

⚠️Внимание

$d$ может быть отрицательным. Для $a_1=10$ , $d=-2$ , $n=5$ : $S_5=\frac{5(2\cdot 10 + 4\cdot(-2))}{2}=\frac{5\cdot 12}{2}=30$ — не забывай про знак.

💡Заметка

Если нужно найти $n$ , составь уравнение из формулы суммы и реши его; например $1+2+\ldots+n=55 \Rightarrow \frac{n(n+1)}{2}=55 \Rightarrow n=10$ .

Правила

1 $S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$ — применяется, когда известны первый и последний члены.
2 $S_n = \frac{n(2a_1 + (n-1)d)}{2}$ — применяется, когда известны первый член и разность.
3Перед применением формул правильно определи значения $n$ , $a_1$ , $a_n$ и $d$ .

Тренировка

10 лёгких · 10 средних · 10 сложных

В каждом тесте — 10 случайных вопросов

Лёгкий Средний Сложный Микс