g9-4.3· Глава 4: Числовые последовательности· ~13 мин

Геометрическая прогрессия

Числовая последовательность с постоянным знаменателем

Геометрическая прогрессия — это последовательность, в которой отношение каждого члена к предыдущему равно постоянному числу $q$ ; это число называется знаменателем. Формула общего члена: $a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$ .

Сумма $n$ членов: $S_n = \frac{a_1(q^n - 1)}{q - 1}$ , при $q \neq 1$ . Связь между соседними членами: $a_n^2 = a_{n-1} \cdot a_{n+1}$ .

📌Пример

Например, в последовательности $2, 6, 18, 54, \ldots$ имеем $a_1 = 2$ , $q = 3$ , поэтому $a_5 = 2 \cdot 3^4 = 2 \cdot 81 = 162$ . Например, в последовательности $5, 10, 20, 40, \ldots$ имеем $a_1 = 5$ , $q = 2$ , поэтому пятый член $a_5 = 5 \cdot 2^4 = 5 \cdot 16 = 80$ .

Ключевые термины

Геометрическая прогрессия — Последовательность, в которой отношение каждого члена к предыдущему равно постоянному числу

q

Знаменатель

q

— Отношение двух соседних членов:

q = \frac{a_{n+1}}{a_n}

, одинаковое для всех соседних членов.

Общий член — Формула, задающая

n

-й член:

a_n = a_1 \cdot q^{n-1}

Среднее геометрическое — Для трёх последовательных членов выполняется соотношение

a_n^2 = a_{n-1} \cdot a_{n+1}

Конечная сумма

S_n

— Сумма первых

n

членов:

S_n = \frac{a_1(q^n - 1)}{q - 1}

, при

q \neq 1

Бесконечная сумма

S_\infty

— При

|q| < 1

сумма бесконечной прогрессии:

S_\infty = \frac{a_1}{1 - q}

Основные формулы

Величина	Формула	Условие
Знаменатель	$q = \frac{a_{n+1}}{a_n}$	$a_n \neq 0$
Общий член	$a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$	—
Конечная сумма	$S_n = \frac{a_1(q^n - 1)}{q - 1}$	$q \neq 1$
Бесконечная сумма	$S_\infty = \frac{a_1}{1 - q}$	$\|q\| < 1$
Среднее геометрическое	$a_n^2 = a_{n-1} \cdot a_{n+1}$	—

Основные формулы геометрической прогрессии и условия их применения.

Является ли последовательность геометрической

Последовательность	Отношения	Геометрическая?
$2; 6; 18; 54$	$3; 3; 3$ (постоянное)	Да, $q = 3$
$4; 8; 16; 32$	$2; 2; 2$ (постоянное)	Да, $q = 2$
$1; 4; 9; 16$	$4; 2,25; \ldots$ (меняется)	Нет
$2; 4; 6; 8$	$2; 1,5; \ldots$ (меняется)	Нет (это арифметическая)

Последовательность является геометрической только если отношение соседних членов постоянно.

✎Сумма первых

4

членов:

a_1 = 2

q = 3

1Запишем формулу: Используем формулу $S_n = \frac{a_1(q^n - 1)}{q - 1}$ при $n = 4$ .
2Подставим значения: $S_4 = \frac{2(3^4 - 1)}{3 - 1}$ .
3Вычислим степень: $3^4 = 81$ , значит $S_4 = \frac{2(81 - 1)}{2}$ .
4Упростим: $S_4 = \frac{2 \cdot 80}{2} = \frac{160}{2}$ .
5Результат: $S_4 = 80$ .

✎Найти положительный

q

a_2 = 6

a_5 = 48

1Запишем члены: $a_2 = a_1 q$ и $a_5 = a_1 q^4$ .
2Составим отношение: $\frac{a_5}{a_2} = \frac{a_1 q^4}{a_1 q} = q^3 = \frac{48}{6}$ .
3Упростим: $q^3 = 8$ , откуда $q = \sqrt[3]{8} = 2$ .
4Найдём $a_1$ : $a_1 = \frac{a_2}{q} = \frac{6}{2} = 3$ .
5Результат: $q = 2$ , $a_1 = 3$ .

🚫Частая ошибка

Считать последовательность $2; 4; 6; 8$ геометрической — ошибка: здесь постоянна разность между членами (арифметическая прогрессия), а не отношение. В геометрической прогрессии постоянным должно быть ОТНОШЕНИЕ соседних членов.

⚠️Внимание

В формуле общего члена степень равна $n-1$ , а не $n$ : $a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$ . Например, $a_4 = a_1 \cdot q^3$ , а не $q^4$ .

💡Заметка

Чтобы найти знаменатель, разделите любой член на предыдущий: $q = \frac{a_2}{a_1} = \frac{a_3}{a_2}$ . Для $81; 27; 9; \ldots$ имеем $q = \frac{1}{3}$ .

⚠️Внимание

Бесконечная сумма $S_\infty = \frac{a_1}{1-q}$ существует только при $|q| < 1$ . При $q = 2$ и подобных случаях эту формулу применять нельзя.

💡Заметка

Среднее геометрическое двух положительных чисел равно $\sqrt{a \cdot b}$ : для $4$ и $16$ получим $\sqrt{4 \cdot 16} = \sqrt{64} = 8$ .

Правила

1Для нахождения знаменателя: $q = \frac{a_{n+1}}{a_n}$ (одинаково для любых соседних членов).
2Общий член: $a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$ .
3Сумма $n$ членов: $S_n = \frac{a_1 \cdot (q^n - 1)}{q - 1}$ , где $q \neq 1$ .
4Если $|q| < 1$ , то сумма бесконечной геометрической прогрессии: $S_\infty = \frac{a_1}{1 - q}$ .
5Если $q = 1$ : $S_n = n \cdot a_1$ (все члены равны).

Тренировка

10 лёгких · 10 средних · 10 сложных

В каждом тесте — 10 случайных вопросов

Лёгкий Средний Сложный Микс