g9-5.1· Глава 5: Треугольники· ~12 мин

Теорема Пифагора

Связь между сторонами прямоугольного треугольника

По теореме Пифагора, в прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы: $a^2 + b^2 = c^2$ , где $c$ — гипотенуза, $a$ и $b$ — катеты. Если гипотенуза известна, катет находится по формуле $a = \sqrt{c^2 - b^2}$ .

Известные Пифагоровы тройки: $(3, 4, 5)$ , $(5, 12, 13)$ , $(6, 8, 10)$ , $(8, 15, 17)$ . Обратное утверждение: если выполняется условие $a^2 + b^2 = c^2$ , то треугольник является прямоугольным.

📌Пример

Например, если катеты равны $3$ и $4$ , то гипотенуза $c = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ . Гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами $5$ и $12$ равна $c = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$ .

Ключевые термины

Теорема Пифагора — В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы:

a^2 + b^2 = c^2

Гипотенуза — Наибольшая сторона прямоугольного треугольника, лежащая напротив прямого угла; обозначается

c

Катет — Каждая из двух сторон, образующих прямой угол; обозначаются

a

b

Пифагорова тройка — Целые числа, удовлетворяющие условию

a^2 + b^2 = c^2

, например

(3, 4, 5)

(5, 12, 13)

Обратная теорема — Если стороны треугольника удовлетворяют условию

a^2 + b^2 = c^2

, то треугольник прямоугольный.

Формула катета — Если известны гипотенуза и один катет, другой катет находится по формуле

a = \sqrt{c^2 - b^2}

Формулы теоремы Пифагора

Что находим	Формула
Гипотенуза $c$	$c = \sqrt{a^2 + b^2}$
Катет $a$	$a = \sqrt{c^2 - b^2}$
Проверка прямоугольности	$a^2 + b^2 = c^2$

$c$ — гипотенуза, $a$ и $b$ — катеты.

Известные Пифагоровы тройки

Катет $a$	Катет $b$	Гипотенуза $c$
$3$	$4$	$5$
$5$	$12$	$13$
$6$	$8$	$10$
$8$	$15$	$17$

Эти тройки удовлетворяют условию $a^2 + b^2 = c^2$ .

✎Нахождение гипотенузы (катеты

5

12

)

1Запишем формулу: Для нахождения гипотенузы используем формулу $c = \sqrt{a^2 + b^2}$ .
2Подставим значения: $c = \sqrt{5^2 + 12^2}$ .
3Вычислим квадраты: $c = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169}$ .
4Результат: $c = 13$ .

✎Нахождение второго катета (гипотенуза

17

, катет

8

)

1Запишем формулу: Для нахождения катета используем формулу $a = \sqrt{c^2 - b^2}$ .
2Подставим значения: $a = \sqrt{17^2 - 8^2}$ .
3Вычислим квадраты: $a = \sqrt{289 - 64} = \sqrt{225}$ .
4Результат: $a = 15$ .

🚫Частая ошибка

При нахождении катета квадраты нужно вычитать, а не складывать: $a = \sqrt{c^2 - b^2}$ . Например, если гипотенуза $17$ , катет $8$ , то ответ $\sqrt{289-64}=15$ , а не $\sqrt{289+64}$ .

⚠️Внимание

Всегда проверяй, что наибольшая из данных сторон является гипотенузой. Если дано $\sqrt{50}$ и катет $5$ , то, поскольку $5^2+5^2=50$ , второй катет равен $5$ .

💡Заметка

Запомни известные тройки ( $3,4,5$ ), ( $5,12,13$ ), ( $6,8,10$ ), ( $8,15,17$ ) — тогда гипотенузу можно найти сразу, без вычислений.

💡Заметка

Если задано отношение катетов, запиши их как $3k$ и $4k$ : при отношении $3:4$ и гипотенузе $15$ получим $5k=15$ , то есть $k=3$ , меньший катет равен $9$ .

⚠️Внимание

Диагональ квадрата равна стороне, умноженной на $\sqrt{2}$ : при стороне $6$ диагональ равна $6\sqrt{2}$ , а не $12$ .

Правила

1Теорема Пифагора: $a^2 + b^2 = c^2$ , где $c$ — гипотенуза, $a$ и $b$ — катеты.
2Для нахождения гипотенузы: $c = \sqrt{a^2 + b^2}$ ; для нахождения катета: $a = \sqrt{c^2 - b^2}$ .
3Если три стороны удовлетворяют условию $a^2 + b^2 = c^2$ , то треугольник прямоугольный (обратная теорема Пифагора).

Тренировка

10 лёгких · 10 средних · 10 сложных

В каждом тесте — 10 случайных вопросов

Лёгкий Средний Сложный Микс

Теорема Пифагора

Графики

Ключевые термины

Правила

Тренировка