g9-5.2· Глава 5: Треугольники· ~12 мин

Площадь и периметр треугольника

Формулы, Герон, равносторонний треугольник

Периметр треугольника равен сумме всех его сторон: P=a+b+cP = a + b + c. Для нахождения площади используется основная формула S=a⋅h2S = \frac{a \cdot h}{2}, где aa — основание, hh — высота, проведённая к нему. В прямоугольном треугольнике два катета одновременно выполняют роль основания и высоты: S=a⋅b2S = \frac{a \cdot b}{2}.

Формула Герона позволяет вычислить площадь любого треугольника со сторонами aa, bb, cc: полупериметр s=a+b+c2s = \frac{a + b + c}{2}, затем S=s(s−a)(s−b)(s−c)S = \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}. Для равностороннего треугольника применяется формула S=a2⋅34S = \frac{a^2 \cdot \sqrt{3}}{4}.

📌Пример

Например, для треугольника со сторонами 55, 66 и 77: s=5+6+72=9s = \frac{5 + 6 + 7}{2} = 9, S=9⋅4⋅3⋅2=216=66S = \sqrt{9 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2} = \sqrt{216} = 6\sqrt{6} см².

Ключевые термины

Периметр — Сумма всех сторон треугольника: P=a+b+cP = a + b + c.
Площадь (формула основание-высота) — Площадь через основание и высоту, проведённую к нему: S=a⋅h2S = \frac{a \cdot h}{2}.
Высота — Перпендикуляр, проведённый к стороне aa (основанию); в формуле площади обозначается hh.
Полупериметр — Половина периметра: s=a+b+c2s = \frac{a + b + c}{2}; используется в формуле Герона.
Формула Герона — Площадь через три стороны: S=s(s−a)(s−b)(s−c)S = \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}, где ss — полупериметр.
Площадь равностороннего треугольника — Для равностороннего треугольника со стороной aa: S=a2⋅34S = \frac{a^2 \cdot \sqrt{3}}{4}.
Формулы площади и периметра треугольника
СлучайФормула
ПериметрP=a+b+cP = a + b + c
Основание и высота известныS=a⋅h2S = \frac{a \cdot h}{2}
Прямоугольный треугольник (катеты aa, bb)S=a⋅b2S = \frac{a \cdot b}{2}
Три стороны известны (Герон)S=s(s−a)(s−b)(s−c)S = \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}
Равносторонний треугольникS=a2⋅34S = \frac{a^2 \cdot \sqrt{3}}{4}

Выбирайте формулу в зависимости от того, какие величины известны.

Нахождение неизвестного из формулы площади
ИскомоеПреобразованиеПример
Площадь SSS=a⋅h2S = \frac{a \cdot h}{2}a=8, h=5⇒S=20a = 8,\ h = 5 \Rightarrow S = 20
Высота hhh=2Sah = \frac{2S}{a}S=24, a=8⇒h=6S = 24,\ a = 8 \Rightarrow h = 6
Основание aaa=2Sha = \frac{2S}{h}S=30, h=6⇒a=10S = 30,\ h = 6 \Rightarrow a = 10

Преобразуйте формулу S=a⋅h2S = \frac{a \cdot h}{2} по искомой величине.

✎Площадь по формуле Герона (стороны 1313, 1414, 1515)
  1. 1Найди полупериметр: s=13+14+152=422=21s = \frac{13 + 14 + 15}{2} = \frac{42}{2} = 21
  2. 2Вычисли разности: s−a=21−13=8s - a = 21 - 13 = 8, s−b=21−14=7s - b = 21 - 14 = 7, s−c=21−15=6s - c = 21 - 15 = 6
  3. 3Подставь в формулу Герона: S=21⋅8⋅7⋅6=7056S = \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} = \sqrt{7056}
  4. 4Результат: S=7056=84S = \sqrt{7056} = 84 см²
✎Катет и площадь прямоугольного треугольника (катет 99, гипотенуза 1515)
  1. 1Найди второй катет по теореме Пифагора: b=c2−a2=152−92=225−81=144=12b = \sqrt{c^2 - a^2} = \sqrt{15^2 - 9^2} = \sqrt{225 - 81} = \sqrt{144} = 12 см
  2. 2Катеты выполняют роль основания и высоты: S=a⋅b2=9⋅122S = \frac{a \cdot b}{2} = \frac{9 \cdot 12}{2}
  3. 3Результат: S=1082=54S = \frac{108}{2} = 54 см²
🚫Частая ошибка

Не забывайте про 12\frac{1}{2} в формуле площади: S=a⋅hS = a \cdot h — неверно, правильно S=a⋅h2S = \frac{a \cdot h}{2}. Например, при a=10, h=6a = 10,\ h = 6 ответ равен 3030 см², а не 6060.

⚠️Внимание

В формуле Герона под корнем записывается произведение s(s−a)(s−b)(s−c)s(s-a)(s-b)(s-c), а не просто ss; сначала найдите s=a+b+c2s = \frac{a+b+c}{2}.

💡Заметка

Треугольники со сторонами 33-44-55, 55-1212-1313, 88-1515-1717 являются прямоугольными; площадь находится быстро: S=катет⋅катет2S = \frac{\text{катет} \cdot \text{катет}}{2}.

💡Заметка

Для нахождения неизвестной высоты преобразуйте формулу: h=2Sah = \frac{2S}{a}. Например, S=24, a=8⇒h=6S = 24,\ a = 8 \Rightarrow h = 6.

⚠️Внимание

В равнобедренном треугольнике периметр P=2⋅(боковая сторона)+основаниеP = 2 \cdot (\text{боковая сторона}) + \text{основание}; чтобы найти основание, вычтите из PP две боковые стороны, например 36−2⋅13=1036 - 2 \cdot 13 = 10 см.

Правила

  1. 1Периметр: P=a+b+cP = a + b + c (сумма всех сторон)
  2. 2Площадь: S=a⋅h2S = \frac{a \cdot h}{2}, где hh — высота, проведённая к стороне aa; в прямоугольном треугольнике S=a⋅b2S = \frac{a \cdot b}{2}
  3. 3Формула Герона: s=a+b+c2s = \frac{a + b + c}{2}; S=s(s−a)(s−b)(s−c)S = \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}

Тренировка

10 лёгких · 10 средних · 10 сложных

В каждом тесте — 10 случайных вопросов

ЛёгкийСреднийСложныйМикс