g9-5.3· Глава 5: Треугольники· ~12 мин

Подобные треугольники

Признаки подобия и отношение площадей

Два треугольника называются подобными (∼\sim), если их соответственные углы равны, а соответственные стороны пропорциональны. Коэффициент подобия находится как k=a1a2=b1b2=c1c2k = \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия: S1S2=k2\frac{S_1}{S_2} = k^2.

Существуют три признака подобия: два равных угла (УУ), две пропорциональные стороны и равный угол между ними (СУС), пропорциональность трёх сторон (ССС). По теореме Фалеса прямая, пересекающая две стороны треугольника параллельно третьей стороне, делит эти стороны пропорционально.

📌Пример

Например, треугольник со сторонами 44, 66, 88 и треугольник со сторонами 66, 99, 1212 подобны: k=64=32k = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}, а отношение площадей равно k2=94k^2 = \frac{9}{4}.

Графики

Треугольник ABC; прямая DE ∥ BC отсекает подобный треугольник ADE
Треугольник ABC; прямая DE ∥ BC отсекает подобный треугольник ADE

Ключевые термины

Подобные треугольники (∼\sim) — Два треугольника, у которых соответственные углы равны, а соответственные стороны пропорциональны. Записывается как ABC∼DEFABC \sim DEF.
Коэффициент подобия (kk) — Постоянное отношение соответственных сторон: k=a1a2=b1b2=c1c2k = \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}.
Отношение площадей — Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия: S1S2=k2\frac{S_1}{S_2} = k^2.
Отношение периметров — Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия: P1P2=k\frac{P_1}{P_2} = k.
Признаки подобия — Три признака: два равных угла (УУ), две пропорциональные стороны и угол между ними (СУС), пропорциональность трёх сторон (ССС).
Теорема Фалеса — Если DE∥BCDE \parallel BC, то стороны делятся пропорционально: ADAB=AEAC=DEBC\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} = \frac{DE}{BC}.
Отношения в подобных треугольниках
ВеличинаОтношениеФормула
Соответственные стороныkka1a2=k\frac{a_1}{a_2} = k
ПериметрыkkP1P2=k\frac{P_1}{P_2} = k
Площадиk2k^2S1S2=k2\frac{S_1}{S_2} = k^2

Отношение сторон и периметров равно kk, отношение площадей равно k2k^2.

Коэффициент подобия и отношение площадей
kkk2k^2 (отношение площадей)
1111 (равные треугольники)
2244
3399
441616
552525

При k=1k = 1 треугольники равны (конгруэнтны).

✎Нахождение коэффициента подобия и стороны через площадь
  1. 1Условие: ABC∼DEFABC \sim DEF, AB=6AB = 6, DE=4DE = 4, SABC=27S_{ABC} = 27 см². Найдите SDEFS_{DEF}.
  2. 2Найдите коэффициент: k=ABDE=64=32k = \frac{AB}{DE} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}.
  3. 3Отношение площадей: SABCSDEF=k2=94\frac{S_{ABC}}{S_{DEF}} = k^2 = \frac{9}{4}.
  4. 4Составьте уравнение: 27SDEF=94\frac{27}{S_{DEF}} = \frac{9}{4}.
  5. 5Решите: SDEF=27⋅49=12S_{DEF} = \frac{27 \cdot 4}{9} = 12 см².
✎Длина параллельного отрезка по теореме Фалеса
  1. 1Условие: В треугольнике ABCABC: DE∥BCDE \parallel BC, AD=4AD = 4, AB=12AB = 12, BC=9BC = 9. Найдите DEDE.
  2. 2Запишите отношение: По теореме Фалеса ADAB=DEBC\frac{AD}{AB} = \frac{DE}{BC}.
  3. 3Подставьте значения: 412=DE9\frac{4}{12} = \frac{DE}{9}, то есть 13=DE9\frac{1}{3} = \frac{DE}{9}.
  4. 4Решите: DE=1⋅93=3DE = \frac{1 \cdot 9}{3} = 3 см.
🚫Частая ошибка

Нельзя принимать отношение площадей равным kk. Если k=3k = 3, то отношение площадей равно k2=9k^2 = 9, а не 33.

⚠️Внимание

При переходе от площади к отношению сторон не забудьте извлечь квадратный корень: если S1S2=94\frac{S_1}{S_2} = \frac{9}{4}, то отношение сторон k=32k = \frac{3}{2}.

💡Заметка

Запомните: отношение сторон и периметров равно kk, а отношение площадей равно k2k^2. Не путайте периметры с площадями.

💡Заметка

В случае средней линии (DD, EE — середины сторон) k=2k = 2, поэтому площадь треугольника ADEADE составляет 14\frac{1}{4} площади ABCABC, то есть 25%25\%.

⚠️Внимание

ADAB\frac{AD}{AB} и ADDB\frac{AD}{DB} — разные величины: AB=AD+DBAB = AD + DB. Если ADDB=23\frac{AD}{DB} = \frac{2}{3}, то ADAB=25\frac{AD}{AB} = \frac{2}{5}.

Правила

  1. 1В подобных треугольниках отношение соответственных сторон постоянно: k=a1a2=b1b2=c1c2k = \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}
  2. 2Отношение площадей равно квадрату коэффициента подобия: S1S2=k2\frac{S_1}{S_2} = k^2
  3. 3Если DE∥BCDE \parallel BC, то по теореме Фалеса ADAB=AEAC=DEBC\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} = \frac{DE}{BC}

Тренировка

10 лёгких · 10 средних · 10 сложных

В каждом тесте — 10 случайных вопросов

ЛёгкийСреднийСложныйМикс