g9-6.1· Глава 6: Окружность· ~12 мин

Окружность. Круг

Основные понятия, формулы и свойства

Окружность — это множество точек плоскости, равноудалённых от одной точки (центра) на расстояние rr (радиус). Круг — это внутренняя область, ограниченная окружностью. Диаметр d=2rd = 2r является наибольшей хордой.

Длина окружности вычисляется по формуле C=2πrC = 2\pi r, площадь круга — по формуле S=πr2S = \pi r^2. Например, при r=5r = 5 см C=2⋅3,14⋅5=31,4C = 2 \cdot 3{,}14 \cdot 5 = 31{,}4 см, S=3,14⋅25=78,5S = 3{,}14 \cdot 25 = 78{,}5 см².

📌Пример

Например, площадь круга с r=7r = 7 см равна S=3,14⋅49≈153,86S = 3{,}14 \cdot 49 \approx 153{,}86 см², а длина окружности равна C=2⋅3,14⋅7≈43,96C = 2 \cdot 3{,}14 \cdot 7 \approx 43{,}96 см.

Ключевые термины

Окружность — Множество точек плоскости, равноудалённых от одной точки (центра) на расстояние rr.
Круг — Внутренняя область окружности, то есть сама окружность и все точки внутри неё.
Радиус rr — Расстояние от центра до любой точки окружности.
Диаметр dd — Хорда, проходящая через центр; равна удвоенному радиусу: d=2rd = 2r. Является наибольшей хордой.
Длина окружности CC — Длина линии окружности: C=2πr=πdC = 2\pi r = \pi d.
Площадь круга SS — Площадь, ограниченная окружностью: S=πr2S = \pi r^2.
Основные формулы окружности и круга
ВеличинаФормула
Диаметрd=2rd = 2r
Длина окружностиC=2πr=πdC = 2\pi r = \pi d
Площадь кругаS=πr2S = \pi r^2

π≈3,14\pi \approx 3{,}14.

Примеры вычислений (π=3,14\pi = 3{,}14)
rr (см)C=2πrC = 2\pi r (см)S=πr2S = \pi r^2 (см²)
3318,8418{,}8428,2628{,}26
5531,431{,}478,578{,}5
7743,9643{,}96153,86153{,}86

По одному радиусу можно найти и длину, и площадь.

✎Найти радиус по длине окружности
  1. 1Условие: Длина окружности C=62,8C = 62{,}8 см, π=3,14\pi = 3{,}14. Найти радиус rr.
  2. 2Формула: Из формулы C=2πrC = 2\pi r выражаем rr: r=C2πr = \frac{C}{2\pi}.
  3. 3Подставляем: r=62,82⋅3,14=62,86,28r = \frac{62{,}8}{2 \cdot 3{,}14} = \frac{62{,}8}{6{,}28}.
  4. 4Ответ: r=10r = 10 см.
✎Найти длину окружности по площади круга
  1. 1Условие: Площадь круга S=50,24S = 50{,}24 см², π=3,14\pi = 3{,}14. Найти длину окружности CC.
  2. 2Находим радиус: S=πr2⇒r2=Sπ=50,243,14=16S = \pi r^2 \Rightarrow r^2 = \frac{S}{\pi} = \frac{50{,}24}{3{,}14} = 16, поэтому r=16=4r = \sqrt{16} = 4 см.
  3. 3Вычисляем длину: C=2πr=2⋅3,14⋅4C = 2\pi r = 2 \cdot 3{,}14 \cdot 4.
  4. 4Ответ: C=25,12C = 25{,}12 см.
🚫Частая ошибка

Не путайте площадь круга с длиной окружности: S=2πrS = 2\pi r — это длина окружности. Площадь круга: S=πr2S = \pi r^2.

⚠️Внимание

Отношение площадей меняется как квадрат отношения радиусов: если S1:S2=4:9S_1 : S_2 = 4 : 9, то r1:r2=2:3r_1 : r_2 = 2 : 3. Брать отношение радиусов равным 4:94 : 9 — ошибка.

💡Заметка

Площадь кольца (между двумя окружностями): S=πR2−πr2=π(R2−r2)S = \pi R^2 - \pi r^2 = \pi(R^2 - r^2).

💡Заметка

Периметр полукруга = длина полуокружности плюс диаметр: P=πr+2r=πr+dP = \pi r + 2r = \pi r + d.

⚠️Внимание

В формуле S=πr2S = \pi r^2 сначала возводите радиус в квадрат, затем умножайте на π\pi: это π⋅r2\pi \cdot r^2, а не (πr)2(\pi r)^2.

Правила

  1. 1Диаметр равен удвоенному радиусу: d=2rd = 2r.
  2. 2Длина окружности: C=2πr=πdC = 2\pi r = \pi d.
  3. 3Площадь круга: S=πr2S = \pi r^2.

Тренировка

10 лёгких · 10 средних · 10 сложных

В каждом тесте — 10 случайных вопросов

ЛёгкийСреднийСложныйМикс