g9-6.2· Глава 6: Окружность· ~12 мин

Углы, связанные с окружностью

Центральные и вписанные углы

Центральный угол — это угол, вершина которого находится в центре окружности; он равен дуге, которую стягивает. Вписанный угол — это угол, вершина которого лежит на окружности; он равен половине дуги, которую стягивает. Таким образом, вписанный угол, опирающийся на ту же дугу, что и центральный, вдвое меньше центрального.

По теореме Фалеса вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен 90∘90^\circ. В четырёхугольнике, вписанном в окружность, сумма противоположных углов равна 180∘180^\circ. Угол между касательной и хордой, проведённой из точки касания, равен половине дуги, которую стягивает хорда, — то есть ведёт себя как вписанный угол для этой дуги.

📌Пример

Например, если центральный угол равен 80∘80^\circ, то вписанный угол, опирающийся на ту же дугу, равен 40∘40^\circ.

Графики

Окружность: центральный угол (80°, вершина O) и вписанный угол (40°, вершина C), опирающиеся на дугу AB
Окружность: центральный угол (80°, вершина O) и вписанный угол (40°, вершина C), опирающиеся на дугу AB

Ключевые термины

Центральный угол — Угол, вершина которого находится в центре окружности; равен дуге, которую стягивает.
Вписанный угол — Угол, вершина которого лежит на окружности; равен половине дуги, которую стягивает.
Теорема Фалеса — Вписанный угол, опирающийся на диаметр, всегда равен 90∘90^\circ.
Вписанный четырёхугольник — Четырёхугольник, все вершины которого лежат на окружности; сумма противоположных углов равна 180∘180^\circ.
Угол касательной и хорды — Угол между касательной прямой и хордой; равен половине дуги, которую стягивает хорда.
Хорда — Отрезок, соединяющий две точки окружности; отделяет дугу, на которую опирается.
Формулы для углов, связанных с окружностью
Вид углаФормула
Вписанный уголдуга2=центральный угол2\dfrac{\text{дуга}}{2}=\dfrac{\text{центральный угол}}{2}
Угол, опирающийся на диаметр90∘90^\circ (Фалес)
Противоположные углы вписанного четырёхугольникасумма =180∘=180^\circ
Две хорды, пересекающиеся внутридуга1+дуга22\dfrac{\text{дуга}_1+\text{дуга}_2}{2}
Две секущие из внешней точкибольшая дуга−меньшая дуга2\dfrac{\text{большая дуга}-\text{меньшая дуга}}{2}
Угол касательной и хордыдуга2\dfrac{\text{дуга}}{2}

Связь каждого угла с дугой, которую он стягивает.

Примеры центрального и вписанного углов
ДугаЦентральный уголВписанный угол
60∘60^\circ60∘60^\circ30∘30^\circ
80∘80^\circ80∘80^\circ40∘40^\circ
100∘100^\circ100∘100^\circ50∘50^\circ
140∘140^\circ140∘140^\circ70∘70^\circ
180∘180^\circ (диаметр)180∘180^\circ90∘90^\circ

Вписанный угол всегда равен половине дуги (и половине центрального угла).

✎Угол между двумя хордами, пересекающимися внутри окружности
  1. 1Дано: Две хорды пересекаются в точке KK внутри окружности; перехваченные дуги равны 80∘80^\circ и 120∘120^\circ.
  2. 2Формула: Угол между пересекающимися хордами =дуга1+дуга22=\dfrac{\text{дуга}_1+\text{дуга}_2}{2}.
  3. 3Подстановка: 80∘+120∘2=200∘2\dfrac{80^\circ+120^\circ}{2}=\dfrac{200^\circ}{2}.
  4. 4Ответ: Угол в точке KK =100∘=100^\circ.
✎Составление уравнения по центральному и вписанному углам
  1. 1Дано: Центральный угол равен 3x∘3x^\circ, соответствующий вписанный угол — (x+20)∘(x+20)^\circ.
  2. 2Связь: Вписанный угол равен половине центрального: x+20=3x2x+20=\dfrac{3x}{2}.
  3. 3Решение уравнения: 2(x+20)=3x⇒2x+40=3x⇒x=402(x+20)=3x\Rightarrow 2x+40=3x\Rightarrow x=40.
  4. 4Проверка: Центральный угол 3⋅40=120∘3\cdot 40=120^\circ, вписанный угол 40+20=60∘=120∘240+20=60^\circ=\dfrac{120^\circ}{2}. Верно.
🚫Частая ошибка

Вписанный угол равен ПОЛОВИНЕ дуги. Если вписанный угол равен 55∘55^\circ, то центральный угол равен 2⋅55=110∘2\cdot 55=110^\circ, а не 27,5∘27,5^\circ — нужно умножать, а не делить.

⚠️Внимание

Если угол касательной и хорды равен 65∘65^\circ, то перехваченная дуга равна 2⋅65=130∘2\cdot 65=130^\circ. Когда спрашивают дугу, а не угол, умножай на 22.

💡Заметка

Все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны между собой — каждый из них равен половине этой дуги.

💡Заметка

Если в вписанном четырёхугольнике задан один угол, то противоположный ему равен 180∘−180^\circ- (данный угол); например, 70∘→110∘70^\circ\to 110^\circ.

Правила

  1. 1Вписанный угол == Центральный угол /2/ 2 (для одной и той же дуги)
  2. 2Вписанный угол, опирающийся на диаметр, всегда равен 90∘90^\circ (теорема Фалеса)
  3. 3В четырёхугольнике, вписанном в окружность, сумма противоположных углов равна 180∘180^\circ
  4. 4Угол между двумя хордами, пересекающимися внутри окружности, == (сумма двух перехваченных дуг) /2/ 2.
  5. 5Угол между двумя секущими из внешней точки == (большая дуга −- меньшая дуга) /2/ 2.
  6. 6Угол между касательной и хордой равен половине дуги, которую стягивает хорда (как вписанный угол).

Тренировка

10 лёгких · 10 средних · 10 сложных

В каждом тесте — 10 случайных вопросов

ЛёгкийСреднийСложныйМикс