g9-7.1· Глава 7: Геометрические тела· ~12 мин

Призма и пирамида

Формулы площади поверхности и объёма.

Площадь боковой поверхности призмы равна произведению периметра основания на высоту: Syan=P⋅hS_{\text{yan}} = P \cdot h, а полная поверхность находится по формуле Stam=Syan+2⋅SəsasS_{\text{tam}} = S_{\text{yan}} + 2 \cdot S_{\text{əsas}}. Объём призмы: V=Səsas⋅hV = S_{\text{əsas}} \cdot h.

Объём пирамиды равен одной трети объёма призмы с тем же основанием и высотой: V=Səsas⋅h3V = \frac{S_{\text{əsas}} \cdot h}{3}. Пример: объём прямой призмы с прямоугольным основанием 55 см ×\times 44 см и высотой 1010 см равен V=(5⋅4)⋅10=200V = (5 \cdot 4) \cdot 10 = 200 см³.

📌Пример

Например, объём пирамиды с прямоугольным основанием 66 см ×\times 33 см и высотой 88 см равен V=(6⋅3)⋅83=48V = \frac{(6 \cdot 3) \cdot 8}{3} = 48 см³.

Ключевые термины

Объём призмы — Произведение площади основания на высоту: V=Səsas⋅hV = S_{\text{əsas}} \cdot h.
Объём пирамиды — Одна треть объёма призмы с тем же основанием и высотой: V=Səsas⋅h3V = \frac{S_{\text{əsas}} \cdot h}{3}.
Площадь боковой поверхности — В призме — произведение периметра основания на высоту: Syan=P⋅hS_{\text{yan}} = P \cdot h.
Площадь полной поверхности — Сумма боковой поверхности и двух оснований: Stam=Syan+2⋅SəsasS_{\text{tam}} = S_{\text{yan}} + 2 \cdot S_{\text{əsas}}.
Апофема — В правильной пирамиде — высота, опущенная из вершины на сторону основания в боковой грани; обозначается aa.
Боковая поверхность правильной пирамиды — Половина произведения периметра основания на апофему: Syan=12⋅P⋅aS_{\text{yan}} = \frac{1}{2} \cdot P \cdot a.
Основные формулы
ВеличинаФормула
Объём призмыV=Səsas⋅hV = S_{\text{əsas}} \cdot h
Объём пирамидыV=Səsas⋅h3V = \frac{S_{\text{əsas}} \cdot h}{3}
Боковая поверхность призмыSyan=P⋅hS_{\text{yan}} = P \cdot h
Полная поверхность призмыStam=Syan+2⋅SəsasS_{\text{tam}} = S_{\text{yan}} + 2 \cdot S_{\text{əsas}}
Боковая поверхность правильной пирамидыSyan=12⋅P⋅aS_{\text{yan}} = \frac{1}{2} \cdot P \cdot a

Формулы поверхности и объёма для призмы и пирамиды.

Сравнение призмы и пирамиды
ПризнакПризмаПирамида
Формула объёмаV=Səsas⋅hV = S_{\text{əsas}} \cdot hV=Səsas⋅h3V = \frac{S_{\text{əsas}} \cdot h}{3}
Отношение объёмов при одном основании и hh33 части11 часть
Боковая поверхностьSyan=P⋅hS_{\text{yan}} = P \cdot hSyan=12⋅P⋅aS_{\text{yan}} = \frac{1}{2} \cdot P \cdot a

При одинаковом основании и высоте Vpiramida:Vprizma=1:3V_{\text{piramida}} : V_{\text{prizma}} = 1 : 3.

✎Объём призмы с прямоугольным основанием
  1. 1Условие: Основание — прямоугольник со сторонами 44 см и 66 см, высота h=10h = 10 см.
  2. 2Площадь основания: Səsas=4⋅6=24S_{\text{əsas}} = 4 \cdot 6 = 24 см².
  3. 3Формула объёма: V=Səsas⋅hV = S_{\text{əsas}} \cdot h.
  4. 4Вычисление: V=24⋅10=240V = 24 \cdot 10 = 240 см³.
  5. 5Ответ: V=240V = 240 см³.
✎Объём пирамиды с квадратным основанием
  1. 1Условие: Основание — квадрат со стороной 66 см, высота h=10h = 10 см.
  2. 2Площадь основания: Səsas=6⋅6=36S_{\text{əsas}} = 6 \cdot 6 = 36 см².
  3. 3Формула объёма: V=Səsas⋅h3V = \frac{S_{\text{əsas}} \cdot h}{3}.
  4. 4Вычисление: V=36⋅103=3603=120V = \frac{36 \cdot 10}{3} = \frac{360}{3} = 120 см³.
  5. 5Ответ: V=120V = 120 см³.
🚫Частая ошибка

Не забывай делить на 33 в формуле объёма пирамиды: V=Səsas⋅h3V = \frac{S_{\text{əsas}} \cdot h}{3}, иначе ответ будет в 33 раза больше.

⚠️Внимание

При нахождении полной поверхности прибавляй к боковой площади площади двух оснований: Stam=Syan+2⋅SəsasS_{\text{tam}} = S_{\text{yan}} + 2 \cdot S_{\text{əsas}} — учитывать только одно основание неверно.

💡Заметка

При одинаковом основании и высоте объём пирамиды равен 13\frac{1}{3} объёма призмы: Vpiramida:Vprizma=1:3V_{\text{piramida}} : V_{\text{prizma}} = 1 : 3.

⚠️Внимание

Для боковой поверхности используй периметр основания (PP), а для объёма — площадь основания (SəsasS_{\text{əsas}}) — не путай эти два понятия.

💡Заметка

Для боковой поверхности правильной пирамиды используется апофема aa: Syan=12⋅P⋅aS_{\text{yan}} = \frac{1}{2} \cdot P \cdot a.

Правила

  1. 1Объём призмы: V=Səsas⋅hV = S_{\text{əsas}} \cdot h (площадь основания ×\times высота).
  2. 2Боковая поверхность призмы: Syan=P⋅hS_{\text{yan}} = P \cdot h (периметр основания ×\times высота); Stam=Syan+2⋅SəsasS_{\text{tam}} = S_{\text{yan}} + 2 \cdot S_{\text{əsas}}.
  3. 3Объём пирамиды: V=Səsas⋅h3V = \frac{S_{\text{əsas}} \cdot h}{3} (одна треть объёма соответствующей призмы).
  4. 4Боковая поверхность правильной пирамиды: Syan=12⋅P⋅aS_{\text{yan}} = \frac{1}{2} \cdot P \cdot a, где PP — периметр основания, aa — апофема.

Тренировка

10 лёгких · 10 средних · 10 сложных

В каждом тесте — 10 случайных вопросов

ЛёгкийСреднийСложныйМикс