g9-7.2· Глава 7: Геометрические тела· ~12 мин

Цилиндр и конус

Поверхность и объём тел вращения.

Площадь боковой поверхности цилиндра $S_{\text{yan}} = 2\pi r h$ , полная поверхность $S_{\text{tam}} = 2\pi r(r+h)$ , объём $V = \pi r^2 h$ . Площадь боковой поверхности конуса $S_{\text{yan}} = \pi r l$ (где $l$ — образующая), объём $V = \frac{\pi r^2 h}{3}$ .

В вычислениях принимается $\pi \approx 3,14$ . Пример: объём цилиндра с радиусом $2$ см и высотой $5$ см равен $V = 3,14 \cdot 2^2 \cdot 5 = 62,8$ см³.

📌Пример

Например, для конуса с радиусом $3$ см и высотой $4$ см образующая $l = \sqrt{9+16} = 5$ см, боковая поверхность $S_{\text{yan}} = 3,14 \cdot 3 \cdot 5 = 47,1$ см².

Ключевые термины

Цилиндр — Тело вращения, получаемое при вращении прямоугольника вокруг одной из его сторон; основания — равные круги.

Конус — Тело вращения, получаемое при вращении прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов; основание — круг, вершина — точка.

Радиус

r

— Радиус окружности основания цилиндра или конуса.

Высота

h

— Расстояние, перпендикулярное основанию, между основаниями (цилиндр) или между вершиной и основанием (конус).

Образующая

l

— Отрезок, соединяющий вершину конуса с точкой окружности основания;

l^2 = r^2 + h^2

Площадь боковой поверхности

S_{\text{yan}}

— Площадь боковой грани тела, не считая оснований.

Формулы для цилиндра и конуса

Тело	Боковая поверхность $S_{\text{yan}}$	Полная поверхность $S_{\text{tam}}$	Объём $V$
Цилиндр	$2\pi r h$	$2\pi r(r+h)$	$\pi r^2 h$
Конус	$\pi r l$	$\pi r(r+l)$	$\frac{\pi r^2 h}{3}$

В конусе $l$ — образующая, $h$ — высота; $l^2 = r^2 + h^2$ .

Образующая

l = \sqrt{r^2 + h^2}

— примеры

$r$ (см)	$h$ (см)	$l$ (см)
$3$	$4$	$5$
$6$	$8$	$10$
$5$	$12$	$13$

Теорема Пифагора: $l = \sqrt{r^2 + h^2}$ .

✎Объём цилиндра (r=2 см, h=5 см)

1Формула: $V = \pi r^2 h$
2Подставляем значения: $V = 3{,}14 \cdot 2^2 \cdot 5$
3Вычисляем: $V = 3{,}14 \cdot 4 \cdot 5 = 3{,}14 \cdot 20$
4Ответ: $V = 62{,}8$ см³

✎Боковая поверхность конуса (r=3 см, h=4 см)

1Находим образующую: $l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ см
2Формула боковой поверхности: $S_{\text{yan}} = \pi r l$
3Подставляем значения: $S_{\text{yan}} = 3{,}14 \cdot 3 \cdot 5$
4Ответ: $S_{\text{yan}} = 47{,}1$ см²

🚫Частая ошибка

Не забывайте множитель $\frac{1}{3}$ в формуле объёма конуса: $V = \frac{\pi r^2 h}{3}$ , а не $\pi r^2 h$ . При одинаковых $r$ и $h$ объём цилиндра в $3$ раза больше объёма конуса.

⚠️Внимание

В формуле боковой поверхности конуса используется образующая $l$ , а не высота $h$ : $S_{\text{yan}} = \pi r l$ . Сначала найдите образующую по формуле $l = \sqrt{r^2 + h^2}$ .

⚠️Внимание

Если задан диаметр, найдите радиус: $r = \frac{d}{2}$ . Например, при $d = 6$ см берите $r = 3$ см.

💡Заметка

Запомните тройки $(r, h, l)$ : $(3,4,5)$ , $(6,8,10)$ , $(5,12,13)$ — пифагоровы тройки позволяют быстро найти образующую.

💡Заметка

В обратной задаче выразите неизвестное из формулы: из $V = \pi r^2 h$ следует $h = \frac{V}{\pi r^2}$ , $r = \sqrt{\frac{V}{\pi h}}$ .

Правила

1Цилиндр: $S_{\text{yan}} = 2\pi r h$ , $S_{\text{tam}} = 2\pi r(r+h)$ , $V = \pi r^2 h$ .
2Конус: $S_{\text{yan}} = \pi r l$ ( $l$ — образующая), $V = \frac{\pi r^2 h}{3}$ .
3Образующая конуса: $l^2 = r^2 + h^2$ (теорема Пифагора).

Тренировка

10 лёгких · 10 средних · 10 сложных

В каждом тесте — 10 случайных вопросов

Лёгкий Средний Сложный Микс