g9-7.3· Глава 7: Геометрические тела· ~12 мин

Шар

Поверхность сферы, объём шара, полушарие.

Площадь поверхности сферы радиуса $r$ вычисляется по формуле $S = 4\pi r^2$ , а объём шара — по формуле $V = \frac{4\pi r^3}{3}$ . Изогнутая (сферическая) поверхность полушария равна половине поверхности сферы: $2\pi r^2$ ; объём полушария равен половине объёма шара: $\frac{2\pi r^3}{3}$ .

$\pi \approx 3,14$ . Пример: объём шара радиуса $3$ см равен $V = \frac{4 \cdot 3,14 \cdot 3^3}{3} = \frac{4 \cdot 3,14 \cdot 27}{3} = 113,04$ см³.

📌Пример

Например, площадь поверхности сферы радиуса $6$ см равна $S = 4 \cdot 3,14 \cdot 36 = 452,16$ см².

Ключевые термины

Сфера — Изогнутая поверхность точек пространства, равноудалённых от данной точки (центра) на расстояние

r

Шар — Объединение сферы и её внутренней области; тело, ограниченное сферой.

Радиус

r

— Расстояние от центра до точки на сфере. Так как диаметр

d = 2r

, то

r = \frac{d}{2}

Поверхность сферы

S

— Площадь поверхности сферы:

S = 4\pi r^2

Объём шара

V

— Пространство, занимаемое шаром:

V = \frac{4\pi r^3}{3}

Полушарие — Половина шара, отсечённая диаметральной плоскостью; изогнутая (сферическая) поверхность

2\pi r^2

, объём

\frac{2\pi r^3}{3}

Основные формулы

Величина	Формула
Поверхность сферы	$S = 4\pi r^2$
Объём шара	$V = \frac{4\pi r^3}{3}$
Изогнутая поверхность полушария	$2\pi r^2$
Объём полушария	$\frac{2\pi r^3}{3}$
Полная поверхность полушария	$3\pi r^2$

Принимается $\pi \approx 3,14$ .

Соотношения при изменении радиуса

Изменение радиуса	Поверхность ( $\sim r^2$ )	Объём ( $\sim r^3$ )
увеличивается в $2$ раза	в $4$ раза	в $8$ раз
увеличивается в $1,5$ раза	в $2,25$ раза	в $3,375$ раза
отношение $1:2$	$1:4$	$1:8$

Поверхность изменяется пропорционально квадрату $r$ , объём — кубу $r$ .

✎Площадь поверхности сферы радиуса

6

см

1Формула: $S = 4\pi r^2$ .
2Подставь значения: $S = 4 \cdot 3,14 \cdot 6^2 = 4 \cdot 3,14 \cdot 36$ .
3Вычисли: $S = 12,56 \cdot 36 = 452,16$ .
4Ответ: $S = 452,16$ см².

✎Радиус сферы с площадью поверхности

314

см²

1Формула: $S = 4\pi r^2 = 314$ .
2Найди $r^2$ : $r^2 = \frac{314}{4 \cdot 3,14} = \frac{314}{12,56} = 25$ .
3Извлеки корень: $r = \sqrt{25} = 5$ .
4Ответ: $r = 5$ см.

✎Полная поверхность полушария радиуса

3

см

1Формула: Полная поверхность $= 2\pi r^2 + \pi r^2 = 3\pi r^2$ .
2Подставь значения: $S = 3 \cdot 3,14 \cdot 3^2 = 3 \cdot 3,14 \cdot 9$ .
3Вычисли: $S = 9,42 \cdot 9 = 84,78$ .
4Ответ: $S = 84,78$ см².

🚫Частая ошибка

Не путай формулу объёма с формулой поверхности: поверхность $S = 4\pi r^2$ (квадрат), объём $V = \frac{4\pi r^3}{3}$ (куб).

⚠️Внимание

Если дан диаметр, сначала найди $r = \frac{d}{2}$ . Например, при $d = 10$ см бери $r = 5$ см.

⚠️Внимание

Полная поверхность полушария равна $3\pi r^2$ (изогнутая поверхность $2\pi r^2$ + нижний круг $\pi r^2$ ); брать только $2\pi r^2$ — значит забыть о нижнем круге.

💡Заметка

Если радиус увеличивается в $k$ раз, поверхность увеличивается в $k^2$ раз, объём — в $k^3$ раз: при $k=2$ получаем $4$ и $8$ , при $k=1,5$ — $2,25$ и $3,375$ .

💡Заметка

Чтобы найти $r$ , применяй формулу в обратном порядке: из поверхности $r^2 = \frac{S}{4\pi}$ , из объёма $r^3 = \frac{3V}{4\pi}$ , затем извлеки корень.

Правила

1Поверхность сферы: $S = 4\pi r^2$ .
2Объём шара: $V = \frac{4\pi r^3}{3}$ .
3Полушарие: изогнутая поверхность $2\pi r^2$ , объём $\frac{2\pi r^3}{3}$ .
4Полная поверхность полушария: $S_{\text{полн}} = 2\pi r^2 + \pi r^2 = 3\pi r^2$ (изогнутая поверхность + нижний круг).

Тренировка

10 лёгких · 10 средних · 10 сложных

В каждом тесте — 10 случайных вопросов

Лёгкий Средний Сложный Микс