g9-8.1· Глава 8: Координатная геометрия· ~12 мин

Координатная плоскость. Формула расстояния

Расстояние между двумя точками и середина отрезка

В координатной (декартовой) плоскости каждая точка задаётся парой чисел (x;y)(x; y). Расстояние между точками A(x1;y1)A(x_1; y_1) и B(x2;y2)B(x_2; y_2) вычисляется по формуле, вытекающей из теоремы Пифагора: d=(x2−x1)2+(y2−y1)2d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}.

Середина отрезка находится по формуле M=(x1+x22;y1+y22)M = \left( \frac{x_1 + x_2}{2}; \frac{y_1 + y_2}{2} \right). Например, для A(0;0)A(0; 0) и B(3;4)B(3; 4): d=9+16=25=5d = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5, середина M(1,5;2)M(1,5; 2).

Для A(2;1)A(2; 1) и B(8;9)B(8; 9): d=36+64=100=10d = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10, середина M(5;5)M(5; 5).

Графики

Координатная плоскость: точки A(0,0) и B(3,4)
Координатная плоскость: точки A(0,0) и B(3,4)

Ключевые термины

Координатная (декартова) плоскость — Плоскость, в которой каждая точка задаётся парой чисел (x;y)(x; y).
Абсцисса — Координата xx точки, то есть первое число в паре (x;y)(x; y).
Ордината — Координата yy точки, то есть второе число в паре (x;y)(x; y).
Формула расстояния — Длина между двумя точками: d=(x2−x1)2+(y2−y1)2d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} (из теоремы Пифагора).
Середина отрезка — Точка, найденная по формуле M=(x1+x22;y1+y22)M = \left( \frac{x_1 + x_2}{2}; \frac{y_1 + y_2}{2} \right).
Периметр — Сумма длин сторон треугольника; каждая сторона находится по формуле расстояния.
Основные формулы
Искомая величинаФормула
Расстояние ddd=(x2−x1)2+(y2−y1)2d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}
Середина MMM=(x1+x22;y1+y22)M = \left( \frac{x_1 + x_2}{2}; \frac{y_1 + y_2}{2} \right)
Другой конец (если задана середина)xB=2xm−xa, yB=2ym−yax_B = 2x_m - x_a,\ y_B = 2y_m - y_a

Для точек A(x1;y1)A(x_1; y_1) и B(x2;y2)B(x_2; y_2).

Часто встречающиеся Пифагоровы тройки
∣Δx∣|\Delta x|∣Δy∣|\Delta y|Расстояние dd
334455
66881010
5512121313
9912121515

d=(Δx)2+(Δy)2d = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}; знаки не влияют на результат.

✎Расстояние: A(−2;−3)A(-2; -3) и B(4;5)B(4; 5)
  1. 1Запишем формулу: d=(x2−x1)2+(y2−y1)2d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}
  2. 2Вычислим разности: x2−x1=4−(−2)=6x_2 - x_1 = 4 - (-2) = 6, y2−y1=5−(−3)=8\quad y_2 - y_1 = 5 - (-3) = 8
  3. 3Подставим квадраты: d=62+82=36+64d = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64}
  4. 4Результат: d=100=10d = \sqrt{100} = 10 единиц.
✎Найдём другой конец: середина M(4;5)M(4; 5), A(2;1)A(2; 1)
  1. 1Запишем формулу: xB=2xm−xa,yB=2ym−yax_B = 2x_m - x_a, \quad y_B = 2y_m - y_a
  2. 2Вычислим абсциссу: xB=2⋅4−2=8−2=6x_B = 2 \cdot 4 - 2 = 8 - 2 = 6
  3. 3Вычислим ординату: yB=2⋅5−1=10−1=9y_B = 2 \cdot 5 - 1 = 10 - 1 = 9
  4. 4Результат: B(6;9)B(6; 9).
🚫Частая ошибка

Если задана середина, находи BB как B=2M−AB = 2M - A; просто взять разность M−AM - A — ошибка. Для M(4;5)M(4; 5), A(2;1)A(2; 1) получается B(6;9)B(6; 9), а не B(3;3)B(3; 3).

⚠️Внимание

При отрицательных координатах внимательно вычисляй разности: 4−(−2)=64 - (-2) = 6, −2−3=−5-2 - 3 = -5. Ошибка в вычитании делает расстояние неверным.

💡Заметка

В формуле расстояния разности возводятся в квадрат, поэтому знак не важен: dd всегда положительно и не зависит от порядка концов.

💡Заметка

Запомни тройки 33-44-55, 66-88-1010, 55-1212-1313 — расстояние можно назвать сразу, не извлекая корень.

Правила

  1. 1Формула расстояния: d=(x2−x1)2+(y2−y1)2d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}.
  2. 2Координаты середины: M=(x1+x22;y1+y22)M = \left( \frac{x_1 + x_2}{2}; \frac{y_1 + y_2}{2} \right).
  3. 3Расстояние всегда положительно; при перестановке концов результат не меняется.
  4. 4Если известны середина M(xm;ym)M(x_m; y_m) и один конец A(xa;ya)A(x_a; y_a), другой конец: xB=2xm−xax_B = 2x_m - x_a, yB=2ym−yay_B = 2y_m - y_a.

Тренировка

10 лёгких · 10 средних · 10 сложных

В каждом тесте — 10 случайных вопросов

ЛёгкийСреднийСложныйМикс