Что обозначает m в уравнении прямой y = mx + b?

Точку пересечения с осью ординат

Точку пересечения с осью абсцисс

Что можно сказать об угловых коэффициентах двух параллельных прямых?

Один является обратным другого

Что обозначает b в уравнении прямой y = mx + b?

Точку пересечения прямой с осью ординат

Точку пересечения с осью абсцисс

g9-8.2· Глава 8: Координатная геометрия· ~12 мин

Уравнение прямой

Угловой коэффициент, $y = mx + b$ , параллельные и перпендикулярные прямые

Наклон прямой (угловой коэффициент) находится по формуле $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ , и уравнение прямой записывается в виде $y = mx + b$ , где $b$ — ордината точки пересечения прямой с осью ординат. Для заданной точки и наклона применяется форма «точка–наклон»: $y - y_1 = m(x - x_1)$ .

Если две прямые параллельны, их угловые коэффициенты равны ( $m_1 = m_2$ ); если перпендикулярны — их произведение равно $-1$ ( $m_1 \cdot m_2 = -1$ ). Например, для $A(1; 2)$ и $B(3; 8)$ : $m = \frac{8 - 2}{3 - 1} = 3$ .

📌Пример

Например, уравнение прямой, проходящей через точку $C(0; 4)$ с наклоном $m = 2$ , есть $y = 2x + 4$ ; перпендикулярная ей прямая имеет наклон $m = -\frac{1}{2}$ .

Ключевые термины

Угловой коэффициент (наклон) — Величина

m

, характеризующая крутизну прямой; для двух точек вычисляется как

m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}

Отрезок по оси

y

(свободный член) — Число

b

в уравнении

y = mx + b

— ордината точки пересечения прямой с осью ординат.

Форма с угловым коэффициентом — Уравнение прямой вида

y = mx + b

, где

m

— наклон,

b

— свободный член.

Форма «точка–наклон» — Уравнение

y - y_1 = m(x - x_1)

для заданной точки

(x_1; y_1)

и наклона

m

Параллельные прямые — Прямые, не пересекающиеся между собой; условие параллельности:

m_1 = m_2

Перпендикулярные прямые — Прямые, пересекающиеся под прямым углом; условие перпендикулярности:

m_1 \cdot m_2 = -1

Формулы для прямой

Понятие	Формула
Наклон (по двум точкам)	$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$
Форма с угловым коэффициентом	$y = mx + b$
Форма «точка–наклон»	$y - y_1 = m(x - x_1)$
Условие параллельности	$m_1 = m_2$
Условие перпендикулярности	$m_1 \cdot m_2 = -1$

Уравнение прямой и условия взаимного расположения прямых.

Частные случаи и пересечение с осями

Случай	Правило	Пример
Горизонтальная прямая	$m = 0$	Прямая вида $y = 5$
Отрезок по оси $y$	Подставить $x = 0$	$y = 3x + 5 \Rightarrow b = 5$
Отрезок по оси $x$	Подставить $y = 0$	$y = 2x - 6 \Rightarrow x = 3$
Перпендикулярный наклон	$m_2 = -\frac{1}{m_1}$	$m_1 = 2 \Rightarrow m_2 = -\frac{1}{2}$

Нахождение наклона и точек пересечения прямой с осями координат.

✎Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки

1Условие: Найди уравнение $y = mx + b$ прямой, проходящей через точки $A(0; -2)$ и $B(3; 4)$ .
2Найди наклон: $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{4 - (-2)}{3 - 0} = \frac{6}{3} = 2$
3Найди $b$ : Точка $A(0; -2)$ лежит на оси ординат, поэтому $b = -2$ .
4Ответ: $y = 2x - 2$

✎Уравнение параллельной прямой, проходящей через заданную точку

1Условие: Найди уравнение прямой, проходящей через точку $M(-1; 4)$ и параллельной прямой $y = 5x - 3$ .
2Выбери наклон: Условие параллельности: $m_1 = m_2$ , поэтому $m = 5$ .
3Вычисли $b$ : Подставим $M(-1; 4)$ в $y = 5x + b$ : $4 = 5\cdot(-1) + b \Rightarrow 4 = -5 + b \Rightarrow b = 9$ .
4Ответ: $y = 5x + 9$

🚫Частая ошибка

Наклон перпендикулярной прямой — это противоположное по знаку обратное число: $m_2 = -\frac{1}{m_1}$ . При $m_1 = 2$ получается $-\frac{1}{2}$ , а не $-2$ ; просто сменить знак — ошибка.

⚠️Внимание

В формуле $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ порядок точек в числителе и знаменателе должен быть одинаковым; не путай разность $y$ -координат с разностью $x$ -координат.

💡Заметка

Для нахождения отрезка по оси $x$ подставляют $y = 0$ , по оси $y$ — $x = 0$ . Например, в $y = 2x - 6$ : $y = 0 \Rightarrow x = 3$ .

💡Заметка

У прямой, проходящей через начало координат $(0; 0)$ , выполняется $b = 0$ , поэтому наклон находится непосредственно как $m = \frac{y}{x}$ .

⚠️Внимание

Параллельные прямые имеют одинаковый наклон ( $m_1 = m_2$ ), но значения $b$ должны различаться; при одинаковом $b$ прямые совпадут.

Правила

1Наклон: $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ .
2Формы уравнения: $y = mx + b$ и $y - y_1 = m(x - x_1)$ .
3Параллельные прямые: $m_1 = m_2$ ; перпендикулярные прямые: $m_1 \cdot m_2 = -1$ .

Тренировка

10 лёгких · 10 средних · 10 сложных

В каждом тесте — 10 случайных вопросов

Лёгкий Средний Сложный Микс