Лежит ли точка A(2, 5) на прямой y = 2x + 1?

Прямая не проходит через точку A

Определить невозможно

Какая формула используется для нахождения площади треугольника по координатам вершин?

S = 1/2|x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|

S = √((x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2)

Определите тип четырёхугольника с вершинами A(1, 1), B(5, 1), C(5, 4), D(1, 4) и найдите его площадь.

Прямоугольник, S = 12

Параллелограмм, S = 12

Лежит ли точка P(1, 3) на прямой y = 3x?

Только в начале координат

Определить невозможно

Лежит ли точка M(2, 7) на прямой y = 3x + 1?

Только при положительных x

Определить невозможно

g9-8.3· Глава 8: Координатная геометрия· ~12 мин

Применение координатной геометрии

Принадлежность точки прямой, площадь треугольника, тип фигуры

С помощью координатного метода геометрические задачи решаются алгебраически. Чтобы проверить, лежит ли точка на прямой, её координаты подставляются в уравнение и проверяется истинность равенства.

Площадь треугольника, заданного координатами вершин, вычисляется по координатной формуле: $S = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$ . По длинам сторон и наклонам можно определить тип фигуры (прямоугольник, параллелограмм и др.). Например, для $A(0; 0)$ , $B(4; 0)$ , $C(0; 3)$ получаем $S = 6$ .

📌Пример

Например, площадь треугольника $A(1; 1)$ , $B(5; 1)$ , $C(3; 5)$ равна $S = \frac{1}{2} |1 \cdot (1 - 5) + 5 \cdot (5 - 1) + 3 \cdot (1 - 1)| = \frac{1}{2} |-4 + 20 + 0| = 8$ кв.ед.

Ключевые термины

Принадлежность точки прямой — Если координаты точки удовлетворяют уравнению прямой (равенство истинно), точка лежит на этой прямой.

Формула площади треугольника (координатная) — Для треугольника, заданного координатами вершин:

S = \frac{1}{2}|x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|

Формула расстояния — Расстояние между двумя точками

d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}

; используется для нахождения длины стороны.

Середина отрезка — Середина отрезка

A(x_1; y_1)

B(x_2; y_2)

— точка

M\left(\frac{x_1 + x_2}{2}; \frac{y_1 + y_2}{2}\right)

Наклон (угловой коэффициент) — Мера наклона прямой или стороны; сравнение наклонов используется для проверки параллельности и прямого угла.

Модуль (абсолютная величина) — Знак

|...|

гарантирует, что площадь всегда положительна; если внутреннее выражение отрицательно, модуль делает его положительным.

Координатный метод — основные формулы

Задача	Формула
Площадь треугольника	$S = \frac{1}{2}\|x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)\|$
Расстояние между двумя точками	$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$
Середина отрезка	$M\left(\frac{x_1 + x_2}{2}; \frac{y_1 + y_2}{2}\right)$
Точка лежит на прямой	Координаты удовлетворяют уравнению → лежит

Наиболее часто используемые формулы координатной геометрии.

Определение типа четырёхугольника

Условие	Тип
Все стороны равны + все углы $90^\circ$	Квадрат
Противоположные стороны равны + все углы $90^\circ$	Прямоугольник
Противоположные стороны параллельны и равны	Параллелограмм

Тип определяется сравнением длин сторон и наклонов.

✎Площадь треугольника (координатная формула)

1Дано: Найти площадь треугольника $A(2, 3)$ , $B(6, 7)$ , $C(10, 3)$ .
2Формула: $S = \frac{1}{2}|x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$ .
3Подставляем: $S = \frac{1}{2}|2(7 - 3) + 6(3 - 3) + 10(3 - 7)|$ .
4Вычисляем: $S = \frac{1}{2}|2 \cdot 4 + 6 \cdot 0 + 10 \cdot (-4)| = \frac{1}{2}|8 + 0 - 40|$ .
5Ответ: $S = \frac{1}{2}|-32| = \frac{1}{2} \cdot 32 = 16$ кв.ед.

✎Принадлежность точки прямой

1Дано: Точка $B(3, k)$ лежит на прямой $y = 2x - 1$ . Найти $k$ .
2Условие: Если точка лежит на прямой, её координаты удовлетворяют уравнению: $k = 2x - 1$ .
3Подставляем: Подставляем $x = 3$ : $k = 2 \cdot 3 - 1$ .
4Ответ: $k = 6 - 1 = 5$ .

💡Заметка

Если в прямоугольном треугольнике две стороны параллельны осям координат, площадь можно также проверить по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h$ ; например для $A(0;0)$ , $B(4;0)$ , $C(0;3)$ получаем $S = 6$ .

⚠️Внимание

При проверке точки на прямой вида $y = 2x + 3$ подставляй $x$ и вычисляй $y$ ; $(2; 5)$ не подходит, а $(1; 5)$ подходит — не смотри только на значение $y$ .

🚫Частая ошибка

Забывать модуль в формуле площади. Если внутреннее выражение отрицательное (например $-32$ ), модуль делает его положительным: $\frac{1}{2}|-32| = 16$ , отрицательной площади не бывает.

🚫Частая ошибка

Опускать множитель $\frac{1}{2}$ в формуле. Для $A(0;0)$ , $B(6;0)$ , $C(0;4)$ правильный ответ $12$ , а не $24$ — не забывай делить на два.

💡Заметка

Координаты середины отрезка — среднее арифметическое соответствующих координат: $A(1;3)$ , $B(5;7)$ → $M\left(\frac{1+5}{2}; \frac{3+7}{2}\right) = M(3; 5)$ .

Правила

1Проверка принадлежности точки: если координаты точки удовлетворяют уравнению, точка лежит на прямой.
2Площадь треугольника (координатная формула): $S = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$ .
3Тип фигуры определяется сравнением длин сторон (формула расстояния) и наклонов.
4Определение фигуры по координатам: все стороны равны + все углы $90^\circ$ → квадрат; противоположные стороны равны + все углы $90^\circ$ → прямоугольник; противоположные стороны параллельны и равны → параллелограмм.

Тренировка

10 лёгких · 10 средних · 10 сложных

В каждом тесте — 10 случайных вопросов

Лёгкий Средний Сложный Микс

Применение координатной геометрии

Графики

Ключевые термины

Правила

Тренировка