На столбчатой диаграмме частоты: A = 4, B = 6, C = 2, D = 8. Каковы общее число наблюдений и столбец с наибольшей частотой?

Всего = 20, наибольший D

Всего = 18, наибольший B

Всего = 20, наибольший B

Всего = 22, наибольший D

g9-9.2· Глава 9: Статистика и теория вероятностей· ~12 мин

Представление данных

Таблицы частот, диаграммы, взвешенное среднее.

В таблице частот показывается, сколько раз встречается каждое значение (его частота); общее число наблюдений равно сумме частот. Взвешенное среднее = сумма (каждое значение $\times$ его частота) $\div$ сумма частот. Столбчатая диаграмма отображает частоты высотой столбцов.

Пример: значение $3$ (частота $2$ ), значение $5$ (частота $3$ ) $\to$ общее число $= 5$ , взвешенное среднее $= \frac{3 \cdot 2 + 5 \cdot 3}{5} = \frac{6+15}{5} = \frac{21}{5} = 4,2$ .

📌Пример

Например, при значении $10$ (частота $4$ ), значении $20$ (частота $6$ ) общее число $= 10$ , взвешенное среднее $= \frac{10 \cdot 4 + 20 \cdot 6}{10} = \frac{40+120}{10} = 16$ .

Столбчатая диаграмма частот: столбцы показывают частоту каждого значения

Ключевые термины

Частота — Количество раз, которое данное значение встречается в наборе данных. В таблице частот указывается напротив каждого значения.

Общее число наблюдений — Количество всех наблюдений; равно сумме частот.

Взвешенное среднее — Среднее арифметическое, вычисляемое по формуле

\frac{\sum(\text{значение} \times \text{частота})}{\sum(\text{частота})}

Мода — Значение, которое встречается в наборе чаще всего (с наибольшей частотой).

Медиана — Значение, стоящее в середине упорядоченного набора; при чётном числе элементов — среднее арифметическое двух средних значений.

Размах (range) — Разность наибольшего и наименьшего значений набора:

\text{макс} - \text{мин}

Статистические показатели и их формулы

Показатель	Формула / правило
Общее число наблюдений	сумма частот $\sum(\text{частота})$
Взвешенное среднее	$\frac{\sum(\text{значение} \times \text{частота})}{\sum(\text{частота})}$
Мода	значение с наибольшей частотой
Медиана	значение в середине упорядоченного набора
Размах	$\text{макс} - \text{мин}$

Основные показатели набора данных.

Взвешенное среднее по таблице частот

Значение	Частота	Значение $\times$ частота
$3$	$2$	$6$
$5$	$3$	$15$
Сумма	$5$	$21$

Взвешенное среднее $= \frac{21}{5} = 4,2$ .

✎Вычисление взвешенного среднего

1Дано: Таблица частот: оценка $60$ (частота $3$ ), оценка $70$ (частота $5$ ), оценка $80$ (частота $2$ ).
2Сумма значение $\times$ частота: $60 \cdot 3 + 70 \cdot 5 + 80 \cdot 2 = 180 + 350 + 160 = 690$
3Сумма частот: $3 + 5 + 2 = 10$
4Взвешенное среднее: $\frac{690}{10} = 69$

✎Нахождение неизвестной частоты

1Дано: Значение $4$ (частота $3$ ), значение $8$ (частота $x$ ), значение $10$ (частота $2$ ); взвешенное среднее равно $7$ .
2Составь уравнение: $\frac{4 \cdot 3 + 8 \cdot x + 10 \cdot 2}{3 + x + 2} = 7$
3Упрости: $\frac{12 + 8x + 20}{5 + x} = 7 \;\to\; 32 + 8x = 7(5 + x)$
4Реши уравнение: $32 + 8x = 35 + 7x \;\to\; x = 3$
5Ответ: $x = 3$

🚫Частая ошибка

При вычислении взвешенного среднего нельзя просто брать среднее арифметическое значений ( $\frac{60+70+80}{3}$ ) — каждое значение необходимо умножать на свою частоту.

⚠️Внимание

При нахождении медианы значения сначала нужно упорядочить; при чётном числе элементов берётся среднее двух средних (напр., $2,4,6,8,10,12 \to \frac{6+8}{2}=7$ ).

💡Заметка

Мода = значение с наибольшей частотой, общее число = сумма частот, размах = $\text{макс}-\text{мин}$ — не путай эти три понятия.

💡Заметка

Относительная частота (в процентах) $= \frac{\text{частота}}{\text{общее число}} \times 100\%$ ; доля сектора на круговой диаграмме $= \frac{\text{угол}}{360^\circ}$ .

Правила

1Общее число наблюдений = сумма частот.
2Взвешенное среднее = $\sum(\text{значение} \times \text{частота}) \div \sum(\text{частота})$ .
3На столбчатой диаграмме высота столбца показывает частоту.

Тренировка

10 лёгких · 10 средних · 10 сложных

В каждом тесте — 10 случайных вопросов

Лёгкий Средний Сложный Микс

Представление данных

Графики

Ключевые термины

Правила

Тренировка